Упр.30 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна $$0{,}4$$. При испытании новой вакцины была набрана группа из $$200$$ добровольцев, которым ввели эту вакцину. Из них $$40$$ человек заболели гриппом. Можно ли считать новую вакцину более эффективной, чем созданные ранее? Сделайте свой вывод на уровне значимости $$0{,}05$$.

Проверим гипотезу о доле заболевших при использовании новой вакцины.

По старым данным вероятность заболевания равна $$p_0=0{,}4.$$

В выборке из $$n=200$$ человек заболели $$40$$, значит, выборочная доля

$$\hat p=\frac{40}{200}=0{,}2.$$

Найдём среднее квадратичное отклонение для доли при гипотезе $$p_0=0{,}4$$:

$$\sigma=\sqrt{p_0(1-p_0)}=\sqrt{0{,}4\cdot 0{,}6}=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}49.$$

Статистика проверки:

$$z=\frac{\hat p-p_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{0{,}2-0{,}4}{0{,}49/\sqrt{200}}\approx -5{,}77.$$

При уровне значимости $$\alpha=0{,}05$$ критическое значение для левосторонней проверки равно $$-1{,}64.$$

Так как $$-5{,}77<-1{,}64,$$ нулевая гипотеза отвергается. Вероятность заболевания при новой вакцине статистически значимо меньше $$0{,}4,$$ значит, новая вакцина эффективнее прежних.

Ответ

Да, новую вакцину можно считать более эффективной.