Упр.22 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Выборочным методом требуется определить средний рост мужчин двадцатилетнего возраста. Известно, что стандартное отклонение этой величины не превосходит 5 см. Сколько мужчин должно быть в выборке, чтобы выборочное среднее отличалось от математического ожидания не больше чем на 1 см с вероятностью 0,95?

Подробный ответ

Обозначим через $$\overline{X}$$ выборочное среднее. По неравенству Чебышёва

$$P\left(\left|\overline{X}-E(X)\right|<\varepsilon\right)\ge 1-\frac{D(X)}{n\varepsilon^2}.$$

Здесь $$\sigma \le 5$$, значит

$$D(X)=\sigma^2\le 25.$$

Требуется, чтобы

$$P\left(\left|\overline{X}-E(X)\right|<1\right)\ge 0{,}95.$$

Тогда

$$1-\frac{25}{n}\ge 0{,}95,$$

откуда

$$\frac{25}{n}\le 0{,}05,$$

$$n\ge \frac{25}{0{,}05}=500.$$