Упр.17 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. В посёлке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни для поездок случайно и независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем один раз за 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?

Обозначим через $$X$$ число пассажиров, которые в данный день едут на поезде.

Вероятность того, что один житель поедет в город в выбранный день, равна

$$p=\frac{6}{30}=0{,}2.$$

Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=2500$$ и $$p=0{,}2$$.

Найдём математическое ожидание и дисперсию:

$$M(X)=np=2500\cdot 0{,}2=500,$$

$$D(X)=np(1-p)=2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=400.$$

Пусть вместимость поезда равна $$y$$. По условию поезд переполняется в среднем один раз за 100 дней, значит

$$P(X>y)\le 0{,}01.$$

По неравенству Чебышёва:

$$P\left(|X-500|\ge y-500\right)\le \frac{400}{(y-500)^2}.$$

Чтобы переполнение происходило не чаще чем в одном случае из 100, достаточно потребовать

$$\frac{400}{(y-500)^2}\le 0{,}01.$$

Тогда

$$(y-500)^2\ge 40000,$$

$$y-500\ge 200,$$

$$y\ge 700.$$

Минимальная вместимость поезда — $$700$$ человек.

Ответ

$$700$$