Упр.16 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа с гардеробом у каждого входа. Сколько мест должно быть в каждом из них, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться в своём гардеробе?

Пусть в одном гардеробе должно быть y мест. Тогда во втором гардеробе тоже y мест, а всего мест для одежды будет 2y.

Число пришедших зрителей можно рассматривать как случайную величину X. По условию в среднем в 9 случаях из 10 все зрители должны раздеться в своём гардеробе, то есть

$$P(X \le 2y)=0{,}9.$$

Для биномиального распределения при числе зрителей 1000 и вероятности выбора каждого гардероба $$\frac12$$ математическое ожидание равно

$$E(X)=1000\cdot \frac12=500.$$

По неравенству Чебышёва:

$$P\left(|X-E(X)|\ge 2y-500\right)\le 0{,}1.$$

Чтобы это выполнялось, достаточно потребовать

$$\frac{(2y-500)^2}{2500}=0{,}1.$$

Тогда

$$(2y-500)^2=2500,$$

$$2y-500=50,$$

$$2y=550,$$

$$y=275.$$

Значит, в каждом гардеробе должно быть по 275 мест.

Ответ

По 275 мест в каждом гардеробе.