Упр.15 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,9 будет находиться число деталей отличного качества, если взять 1000 деталей?

Пусть $$X$$ — число деталей отличного качества среди $$1000$$ деталей. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=1000$$ и $$p=0{,}8$$.

Найдём математическое ожидание и дисперсию:

$$E(X)=np=1000\cdot 0{,}8=800,$$

$$D(X)=npq=1000\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2=160,$$

где $$q=1-p=0{,}2$$.

По неравенству Чебышёва:

$$P\left(|X-E(X)|\geqslant \sigma\right)\leqslant \frac{D(X)}{\sigma^2}.$$

Требуется, чтобы

$$P\left(|X-E(X)|<\sigma\right)=0{,}9,$$

значит,

$$P\left(|X-E(X)|\geqslant \sigma\right)=0{,}1.$$

Тогда

$$\frac{160}{\sigma^2}=0{,}1,$$

откуда

$$\sigma^2=1600,\qquad \sigma=40.$$

Следовательно, с вероятностью $$0{,}9$$ число деталей отличного качества будет находиться в пределах

$$800-40\leqslant X\leqslant 800+40,$$

то есть

$$760\leqslant X\leqslant 840.$$

Ответ

$$760\leqslant X\leqslant 840.$$