Упр.13 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

По статистическим данным, в среднем $$87\%$$ людей доживают до $$50$$ лет. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что из $$1000$$ новорождённых не менее $$800$$ доживут до $$50$$ лет.

Пусть $$X$$ — число новорождённых из 1000, доживших до 50 лет. Тогда

$$E(X)=1000\cdot 0{,}87=870,$$

$$D(X)=1000\cdot 0{,}87\cdot 0{,}13=113{,}1,$$

$$\sigma=\sqrt{113{,}1}\approx 10{,}63.$$

Нужно оценить вероятность события $$X\ge 800.$$ Заметим, что если $$X<800,$$ то

$$|X-870|\ge 70.$$

По неравенству Чебышёва

$$P(|X-870|\ge 70)\le \frac{D(X)}{70^2}=\frac{113{,}1}{4900}\approx 0{,}023.$$

Тогда

$$P(X\ge 800)=1-P(X<800)\ge 1-P(|X-870|\ge 70)\ge 1-0{,}023=0{,}977.$$

Ответ

$$P(X\ge 800)\ge 0{,}977.$$