Упр.12 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Вероятность рождения девочки равна приблизительно $$0{,}485$$. Оцените вероятность того, что доля девочек среди $$3000$$ новорождённых будет отличаться от $$0{,}485$$ меньше чем а) на $$0{,}1$$; б) на $$0{,}05$$; в) на $$0{,}02$$; г) на $$0{,}01$$.

Пусть $$X$$ — доля девочек среди $$3000$$ новорождённых. Тогда

$$E(X)=p=0{,}485,\qquad q=1-p=0{,}515.$$

По неравенству Чебышёва для доли получаем оценку

$$P\left(|X-p|<\varepsilon\right)\ge 1-\frac{pq}{n\varepsilon^2},$$

где $$n=3000.$$

Вычислим:

$$pq=0{,}485\cdot 0{,}515=0{,}249775.$$

Тогда

$$P\left(|X-0{,}485|<\varepsilon\right)\ge 1-\frac{0{,}249775}{3000\varepsilon^2}.$$

а) При $$\varepsilon=0{,}1$$:

$$P\left(|X-0{,}485|<0{,}1\right)\ge 1-\frac{0{,}249775}{3000\cdot 0{,}1^2}\approx 1-0{,}0083=0{,}992.$$

б) При $$\varepsilon=0{,}05$$:

$$P\left(|X-0{,}485|<0{,}05\right)\ge 1-\frac{0{,}249775}{3000\cdot 0{,}05^2}\approx 1-0{,}0333=0{,}967.$$

в) При $$\varepsilon=0{,}02$$:

$$P\left(|X-0{,}485|<0{,}02\right)\ge 1-\frac{0{,}249775}{3000\cdot 0{,}02^2}\approx 1-0{,}208=0{,}792.$$

г) При $$\varepsilon=0{,}01$$:

$$P\left(|X-0{,}485|<0{,}01\right)\ge 1-\frac{0{,}249775}{3000\cdot 0{,}01^2}\approx 1-0{,}833=0{,}167.$$

Ответ

а) $$0{,}992$$; б) $$0{,}967$$; в) $$0{,}792$$; г) $$0{,}167$$.