Упр.10 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Масса яблока имеет математическое ожидание $$200\ \text{г}$$ и стандартное отклонение $$50\ \text{г}$$. Оцените вероятность того, что в $$100\ \text{кг}$$ окажется не менее $$490$$ яблок.

Пусть $$X$$ — масса одного яблока в килограммах. Тогда

$$E(X)=0{,}2,\qquad \sigma(X)=0{,}05,\qquad D(X)=0{,}05^2=0{,}0025.$$

Обозначим через $$Y$$ массу $$490$$ яблок. Тогда

$$E(Y)=490\cdot 0{,}2=98,$$

$$D(Y)=490\cdot 0{,}0025=1{,}225.$$

Нужно оценить вероятность того, что в $$100$$ кг окажется не менее $$490$$ яблок, то есть

$$P(Y\le 100).$$

По неравенству Чебышёва:

$$P\left(|Y-E(Y)|\ge 2\right)\le \frac{D(Y)}{2^2}=\frac{1{,}225}{4}=0{,}30625.$$

Тогда

$$P(Y\le 100)=1-P(Y>100)\ge 1-P\left(|Y-E(Y)|\ge 2\right)\ge 1-0{,}30625=0{,}69375.$$

Следовательно, искомая вероятность не меньше $$0{,}69$$.

Ответ

$$P(Y\le 100)\ge 0{,}69.$$