Проверь себя 5 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2 Найти значение выражения:
1) cos 135°;
2) sin 8пи/3;
3) tg 7пи/3;
4) cos2 пи/8.
3 Доказать тождество:
1) 3 cos 2а + sin2 а — cos2 а = 2 cos 2а;
2) (sin 5а — sin За)/2cos4a = sina.
4 Упростить выражение:
1) sin(a-b) — sin(пи/2 — a) * sin(a-b);
2) cos2(пи-a) — cos 2(пи/2-a);
3) 2sinasinb+cos(a+b).

1. Так как $$\cos a=-\frac45$$ и $$\frac{\pi}{2}0.$$

   $$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34.$$

   $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$$

2. 1) $$\cos 135^\circ=\cos(90^\circ+45^\circ)=-\sin 45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   2) $$\sin \frac{8\pi}{3}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   3) $$\tg \frac{7\pi}{3}=\tg\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

   4) $$\cos \frac{2\pi}{8}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

3. 1) Преобразуем левую часть:
   $$3\cos 2a+\sin^2 a-\cos^2 a=3\cos 2a-(\cos^2 a-\sin^2 a).$$
   Так как $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$ то
   $$3\cos 2a+\sin^2 a-\cos^2 a=3\cos 2a-\cos 2a=2\cos 2a.$$

   2) Используем формулу разности синусов:
   $$\sin 5a-\sin 3a=2\cos \frac{5a+3a}{2}\sin \frac{5a-3a}{2}=2\cos 4a\sin a.$$
   Тогда
   $$\frac{\sin 5a-\sin 3a}{2\cos 4a}=\frac{2\cos 4a\sin a}{2\cos 4a}=\sin a.$$

4. 1)
   $$\sin(a-b)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin(a-b).$$
   Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos a,$$ получаем
   $$\sin(a-b)-\cos a\sin(a-b)=\sin(a-b)(1-\cos a).$$

   2)
   $$\cos^2(\pi-a)-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right).$$
   Имеем
   $$\cos(\pi-a)=-\cos a,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a,$$
   значит
   $$\cos^2(\pi-a)-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a.$$

   3)
   $$2\sin a\sin b+\cos(a+b).$$
   Раскроем косинус суммы:
   $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$
   Тогда
   $$2\sin a\sin b+\cos(a+b)=\sin a\sin b+\cos a\cos b=\cos(a-b).$$

Ответ

1) $$\sin a=\frac35,\ \tg a=-\frac34,\ \cos 2a=\frac{7}{25}.$$
2) $$-\frac{\sqrt2}{2};\ \frac{\sqrt3}{2};\ \sqrt3;\ \frac{\sqrt2}{2}.$$
3) $$2\cos 2a;\ \sin a.$$
4) $$\sin(a-b)(1-\cos a);\ \cos 2a;\ \cos(a-b).$$