Проверь себя 4 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1) $$\log_{5}(125)$$;
2) $$\lg 0{,}01$$;
3) $$2\log_{2}(3)$$;
4) $$3^2\log_{3}(7)$$;
5) $$\log_{2}(68)-\log_{2}(17)$$. - Построить схематически график функции:
1) $$y=\log_{0{,}2}x$$;
2) $$y=\log_{2}(x)$$. - Сравнить числа:
1) $$\log_{0{,}2}(3)$$ и $$\log_{0{,}2}(2{,}5)$$;
2) $$\log_{2}(0{,}7)$$ и $$\log_{2}(1{,}2)$$. - Решить уравнение:
1) $$\log_{5}(3x+1)=2$$;
2) $$\log_{3}(x+2)+\log_{3}x=1$$;
3) $$\ln(x^2-6x+9)=\ln 3+\ln(x+3)$$. - Решить систему уравнений:
$$\begin{cases} \ln x-\ln y=\ln 3,\\ x-2y=5. \end{cases}$$ - Решить неравенство:
1) $$\log_{3}(x-1)\leqslant 2$$;
2) $$\log_{\frac{1}{5}}(2-x)>-1$$.
1) $$\log_5 125=\log_5 5^3=3$$
2) $$\lg 0{,}01=\lg 10^{-2}=-2$$
3) $$2^{\log_2 3}=3$$
4) $$3^{2\log_3 7}=\left(3^{\log_3 7}\right)^2=7^2=49$$
5) $$\log_2 68-\log_2 17=\log_2 \frac{68}{17}=\log_2 4=2$$
Ход решения
2. Для графика функции $$y=\log_a x$$ при $$0<a<1$$ график убывает, проходит через точку $$\left(1;0\right)$$, имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.
1) $$y=\log_{0{,}2}x$$ — убывающая логарифмическая функция.
2) $$y=\log_2 x$$ — возрастающая логарифмическая функция, проходит через точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(2;1\right)$$, $$\left(\frac12;-1\right)$$.
3. Сравним числа.
1) Так как $$0{,}2<1$$, функция $$y=\log_{0{,}2}x$$ убывает. При этом $$3>2{,}5$$, значит
$$\log_{0{,}2}3<\log_{0{,}2}2{,}5.$$
2) Так как основание $$2>1$$, функция $$y=\log_2 x$$ возрастает. Поскольку $$0{,}7<1{,}2$$, то
$$\log_2 0{,}7<\log_2 1{,}2.$$
4. Решим уравнения.
1) $$\log_5(3x+1)=2$$
$$3x+1=5^2=25$$
$$3x=24,\quad x=8.$$
2) $$\log_3(x+2)+\log_3 x=1$$
ОДЗ: $$x>0.$$
$$\log_3\bigl(x(x+2)\bigr)=1$$
$$x(x+2)=3$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=1$$.
3) $$\ln(x^2-6x+9)=\ln 3+\ln(x+3)$$
ОДЗ: $$x+3>0.$$
$$\ln(x^2-6x+9)=\ln\bigl(3(x+3)\bigr)$$
$$x^2-6x+9=3x+9$$
$$x^2-9x=0$$
$$x(x-9)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=9.$$
5. Решим систему:
$$\begin{cases} \ln x-\ln y=\ln 3,\\ x-2y=5. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\ln\frac{x}{y}=\ln 3 \Rightarrow \frac{x}{y}=3 \Rightarrow x=3y.$$
Подставим во второе:
$$3y-2y=5$$
$$y=5,\quad x=15.$$
6. Решим неравенства.
1) $$\log_3(x-1)\le 2$$
ОДЗ: $$x>1.$$
Так как основание $$3>1$$, получаем:
$$x-1\le 3^2=9$$
$$x\le 10.$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(1;10].$$
2) $$\log_{\frac15}(2-x)>-1$$
ОДЗ: $$2-x>0,\quad x<2.$$
Так как основание $$\frac15<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$2-x<\left(\frac15\right)^{-1}=5$$
$$x>-3.$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(-3;2).$$
Ответ
1) $$3,\,-2,\,3,\,49,\,2$$
2) $$y=\log_{0{,}2}x$$ — убывающий график, $$y=\log_2 x$$ — возрастающий график, обе проходят через точку $$\left(1;0\right)$$.
3) $$\log_{0{,}2}3<\log_{0{,}2}2{,}5,\quad \log_2 0{,}7<\log_2 1{,}2$$
4) $$x=8;\quad x=1;\quad x=0,\ 9$$
5) $$x=15,\ y=5$$
6) $$x\in(1;10],\quad x\in(-3;2)$$
