Проверь себя 4 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) log5(125);
2) lg 0,01;
3) 2l0g2(3);
4) 3^2log3(7);
5) log2(68) — log2(17).
2 Построить схематически график функции:
1) у = log0,2x;
2) y = log2(x)
3 Сравнить числа:
1) log02(3) и log0,2(2,5);
2) log2(0,7) и log2(1,2).
4 Решить уравнение:
1) log5 (Зx + 1) = 2;
2) log3 (х + 2) + log3 х=1;
3) ln (х2 — 6х + 9) = ln 3 + ln (х + 3).
5 Решить систему уравнений
система
lon-lny=ln3,
x-2y=5.
6 Решить неравенство:
1) log3 (х — 1) < = 2; 2) log 1/5 (2 - х) > —1.

1. Вычислим значения:

   $$\log_5 125=\log_5 5^3=3$$
   $$\lg 0{,}01=\lg 10^{-2}=-2$$
   $$2^{\log_2 3}=3$$
   $$3^{2\log_3 7}=\left(3^{\log_3 7}\right)^2=7^2=49$$
   $$\log_2 68-\log_2 17=\log_2 \frac{68}{17}=\log_2 4=2$$

2. Схематически графики функций:

   1) $$y=\log_{0{,}2}x$$ — убывающая логарифмическая функция, проходит через точку $$\left(1;0\right)$$, область определения $$x>0$$, вертикальная асимптота $$x=0$$.

   2) $$y=\log_2 x$$ — возрастающая логарифмическая функция, проходит через точку $$\left(1;0\right)$$, область определения $$x>0$$, вертикальная асимптота $$x=0$$.

3. Сравним числа:

   1) Так как $$0{,}2<1$$, функция $$y=\log_{0{,}2}x$$ убывает. Поскольку $$3>2{,}5$$, то
   $$\log_{0{,}2}3<\log_{0{,}2}2{,}5.$$

   2) Так как $$2>1$$, функция $$y=\log_2 x$$ возрастает. Поскольку $$0{,}7<1{,}2$$, то
   $$\log_2 0{,}7<\log_2 1{,}2.$$

4. Решим уравнения:

   1) $$\log_5(3x+1)=2$$
   $$3x+1=5^2=25$$
   $$3x=24$$
   $$x=8$$

   2) $$\log_3(x+2)+\log_3 x=1$$
   $$\log_3\bigl(x(x+2)\bigr)=1$$
   $$x(x+2)=3$$
   $$x^2+2x-3=0$$
   $$\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0$$
   $$x=1 \text{ или } x=-3$$
   С учётом ОДЗ $$x>0$$, получаем $$x=1$$.

   3) $$\ln(x^2-6x+9)=\ln 3+\ln(x+3)$$
   $$\ln(x^2-6x+9)=\ln\bigl(3(x+3)\bigr)$$
   $$x^2-6x+9=3x+9$$
   $$x^2-9x=0$$
   $$x(x-9)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=9$$
   Проверка ОДЗ: $$x^2-6x+9=(x-3)^2>0$$ и $$x+3>0$$. Оба корня подходят.

5. Решим систему:

   $$\begin{cases} \ln x-\ln y=\ln 3,\\ x-2y=5 \end{cases}$$
   $$\ln\frac{x}{y}=\ln 3$$
   $$\frac{x}{y}=3$$
   $$x=3y$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$3y-2y=5$$
   $$y=5$$
   $$x=15$$

6. Решим неравенства:

   1) $$\log_3(x-1)\le 2$$
   ОДЗ: $$x>1$$.
   Так как $$3>1$$, то
   $$x-1\le 3^2=9$$
   $$x\le 10$$
   Следовательно,
   $$x\in(1;10]$$

   2) $$\log_{1/5}(2-x)>-1$$
   ОДЗ: $$2-x>0$$, то есть $$x<2$$.
   Так как основание $$\frac15<1$$, знак неравенства меняется:
   $$2-x<\left(\frac15\right)^{-1}=5$$
   $$-x<3$$
   $$x>-3$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in(-3;2)$$

Ответ

1) $$3;\,-2;\,3;\,49;\,2$$
2) графики логарифмических функций $$y=\log_{0{,}2}x$$ и $$y=\log_2 x$$
3) $$\log_{0{,}2}3<\log_{0{,}2}2{,}5$$, $$\log_2 0{,}7<\log_2 1{,}2$$
4) $$x=8;\ x=1;\ x=0,\ 9$$
5) $$x=15,\ y=5$$
6) $$x\in(1;10]$$, $$x\in(-3;2)$$