Проверь себя 3 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y=(1/5)x;
2) y=5x.
2 Сравнить числа:
1) (1/5)0,2 и (1/5)1,2;
2) 5^-0,2 и 5^-1,2.
3 Решить уравнение:
1) 3x+ 1 = 27х-1;
3) 2х + 3 — 2x +1 = 12
2) 0,2х2+4х-5 = 1;
4) 4 * 2^2х — 5* 2х + 1 = 0.
4 Решить неравенство:
1) 7x-2 > 49;
2) 0,5×2-2 > =1/4.

Подробный ответ

Построим схематически графики функций.
1) $$y=\left(\frac15\right)^x$$ — убывающая показательная функция, так как $$0<\frac15<1$$. График проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и при увеличении $$x$$ стремится к нулю.
2) $$y=5^x$$ — возрастающая показательная функция, так как $$5>1$$. График проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и при увеличении $$x$$ быстро возрастает.
Сравним числа.
1) Так как функция $$y=\left(\frac15\right)^x$$ убывает, а $$0{,}2<1{,}2$$, то
$$\left(\frac15\right)^{0{,}2} > \left(\frac15\right)^{1{,}2}.$$
2) Так как функция $$y=5^x$$ возрастает, а $$-0{,}2>-1{,}2$$, то
$$5^{-0{,}2} > 5^{-1{,}2}.$$
Решим уравнения.
1) $$3^{x+1}=27^{x-1}$$
$$27=3^3,\quad 3^{x+1}=3^{3(x-1)}$$
$$x+1=3x-3$$
$$2x=4,\quad x=2.$$
2) $$0{,}2^{x^2+4x-5}=1$$
Так как $$0{,}2\neq 1$$, то показатель равен нулю:
$$x^2+4x-5=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=36$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-5.$$
3) $$2^{x+3}-2^{x+1}=12$$
$$2^{x+1}(2^2-1)=12$$
$$3\cdot 2^{x+1}=12$$
$$2^{x+1}=4=2^2$$
$$x+1=2,\quad x=1.$$
4) $$4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+1=0$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$4t^2-5t+1=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8}$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac14.$$
Тогда
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=\frac14=2^{-2} \Rightarrow x=-2.$$
Решим неравенства.
1) $$7^{x-2}>49$$
$$49=7^2,\quad 7^{x-2}>7^2$$
Так как основание $$7>1$$, сравниваем показатели:
$$x-2>2,\quad x>4.$$
2) $$0{,}5^{x^2-2}\ge \frac14$$
$$0{,}5=\frac12,\quad \frac14=\left(\frac12\right)^2$$
Тогда
$$\left(\frac12\right)^{x^2-2}\ge \left(\frac12\right)^2.$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$x^2-2\le 2$$
$$x^2\le 4$$
$$-2\le x\le 2.$$