Проверь себя 2 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1) $$y=3(x-1)^{-3}$$;
   2) $$y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}$$.
2. Построить график функции:
   1) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$;
   2) $$y=2x^{-2}$$;
   3) $$y=\frac{x^4}{2}$$.
   Для каждой функции указать область определения и значения $$x$$, при которых $$y>0$$.
3. Решить уравнение:
   1) $$\sqrt[3]{x-3}=5$$;
   2) $$\sqrt{3-x-x^2}=x$$.

1. Найдём область определения.

   1) $$y=3(x-1)^{-3}=\frac{3}{(x-1)^3}.$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому $$x\ne 1.$$

   Следовательно, $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

   2) $$y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2-3x-4\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-3x-4=(x-4)(x+1).$$

   Тогда

   $$(x-4)(x+1)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$

2. Построим графики и укажем область определения и промежутки, где $$y>0$$.

   1) $$y=\sqrt[3]{x+1}.$$

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

   Так как кубический корень сохраняет знак выражения под корнем, то $$y>0$$ при $$x+1>0,$$ то есть при $$x>-1.$$

   График получается из графика $$y=\sqrt[3]{x}$$ сдвигом на 1 единицу влево.

   2) $$y=2x^{-2}=\frac{2}{x^2}.$$

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

   Так как $$\frac{2}{x^2}>0$$ при любом $$x\ne 0,$$ то $$y>0$$ для всех $$x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

   График — две ветви гиперболы, симметричные относительно оси $$Oy$$.

   3) $$y=\frac{x^4}{2}.$$

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

   Так как $$x^4\ge 0,$$ то $$y\ge 0$$ при всех $$x,$$ а $$y>0$$ при $$x\ne 0.$$

   График — чётная функция, ветви направлены вверх, вершина в точке $$(0,0).$$

3. Решим уравнения.

   1) $$\sqrt[3]{x-3}=5.$$

   Возведём обе части в куб:

   $$x-3=125,$$

   $$x=128.$$

   2) $$\sqrt{3-x-x^2}=x.$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$3-x-x^2=x^2,$$

   $$2x^2+x-3=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=1+24=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

   Получаем $$x_1=1,$$ $$x_2=-\frac{3}{2}.$$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=1.$$ Проверка:

   $$\sqrt{3-1-1}=1,$$ верно.

Ответ

1) $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\quad D(y)=(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$

2) 1) $$D(y)=\mathbb{R},\ y>0 \text{ при } x>-1.$$ 2) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ y>0 \text{ при } x\ne 0.$$ 3) $$D(y)=\mathbb{R},\ y>0 \text{ при } x\ne 0.$$

3) 1) $$x=128.$$ 2) $$x=1.$$