Проверь себя 2 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) y=3(x-1)^-3;
2) y= корень 4 степени (x2-3x-4).
2 Построить график функции:
1) у = корень 3 степени (х + 1);
2) у= 2х^-2;
3) у = x4/2.
Для каждой функции указать область определения и значения х, при которых у > 0.
3 Решить уравнение:
1) корень 3 степени (x-3) =5;
2) корень (3-x-x2) =x.

1. Найдём область определения функций.

   1) $$y=3(x-1)^{-3}=\frac{3}{(x-1)^3}.$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль, значит $$x\ne 1.$$

   Следовательно, $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

   2) $$y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$ x^2-3x-4\ge 0 $$
   $$ (x-4)(x+1)\ge 0 $$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$

2. Построим графики и укажем область определения и значения $$x$$, при которых $$y>0$$.

   1) $$y=\sqrt[3]{x+1}.$$

   Это график функции $$y=\sqrt[3]{x}$$, сдвинутый влево на 1.

   $$D(y)=\mathbb{R}.$$

   Так как кубический корень сохраняет знак выражения под корнем, то

   $$y>0 \iff x+1>0 \iff x>-1.$$

   2) $$y=2x^{-2}=\frac{2}{x^2}.$$

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

   При всех допустимых $$x$$ имеем $$x^2>0$$, значит

   $$y>0 \text{ при всех } x\ne 0.$$

   3) $$y=\frac{x^4}{2}.$$

   $$D(y)=\mathbb{R}.$$

   Так как $$x^4\ge 0$$, то $$y\ge 0$$, а

   $$y>0 \iff x\ne 0.$$

3. Решим уравнения.

   1) $$\sqrt[3]{x-3}=5.$$

   $$ x-3=5^3=125 $$
   $$ x=128 $$

   2) $$\sqrt{3-x-x^2}=x.$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0$$. Возведём обе части в квадрат:

   $$ 3-x-x^2=x^2 $$
   $$ 2x^2+x-3=0 $$
   $$ (2x+3)(x-1)=0 $$

   Получаем $$x=-\frac{3}{2}$$ или $$x=1$$. С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=1$$.

Ответ

1) $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\quad (-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$

2) $$D(y)=\mathbb{R},\ y>0 \text{ при } x>-1;\quad D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ y>0 \text{ при } x\ne 0;\quad D(y)=\mathbb{R},\ y>0 \text{ при } x\ne 0.$$

3) $$x=128;\quad x=1.$$