Проверь себя 1 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{15^{\frac23}\cdot 3^{\frac13}}{5^{-\frac13}}=15^{\frac23}\cdot 3^{\frac13}\cdot 5^{\frac13}$$

$$15^{\frac23}=(3\cdot 5)^{\frac23}=3^{\frac23}\cdot 5^{\frac23}$$

Тогда

$$3^{\frac23}\cdot 5^{\frac23}\cdot 3^{\frac13}\cdot 5^{\frac13}=3^{\frac23+\frac13}\cdot 5^{\frac23+\frac13}=3\cdot 5=15.$$

$$\left(\frac45\right)^{-2}-\left(\frac1{27}\right)^{\frac13}+4\cdot 3^{\frac32}$$

$$\left(\frac45\right)^{-2}=\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16}, \qquad \left(\frac1{27}\right)^{\frac13}=\frac13,$$

$$4\cdot 3^{\frac32}=4\cdot 3\sqrt3=12\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\left(\frac45\right)^{-2}-\left(\frac1{27}\right)^{\frac13}+4\cdot 3^{\frac32}=\frac{25}{16}-\frac13+12\sqrt3=\frac{59}{48}+12\sqrt3.$$

$$\left(\sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{\frac14}\right):\sqrt[3]{2}$$

$$\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2}, \qquad \sqrt[3]{\frac14}=\frac1{\sqrt[3]{4}}.$$

Удобнее разделить каждое слагаемое на $$\sqrt[3]{2}$$:

$$\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac14}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{\frac18}=4+\frac12=\frac92.$$

$$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}}\cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}=\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}}=\frac{a^2b}{c}.$$

$$a^{-3}\cdot a^{\frac73}=a^{-\!3+\frac73}=a^{-\frac23}=\frac1{\sqrt[3]{a^2}}.$$

$$\frac{a-9a^{\frac12}}{7a^{\frac14}+27}$$

Представим числитель как произведение:

$$a-9a^{\frac12}=a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-9\right).$$

Тогда

$$\frac{a-9a^{\frac12}}{7a^{\frac14}+27}=\frac{a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-9\right)}{7a^{\frac14}+27}.$$

Дальнейшего сокращения нет.

$$\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3} \quad \text{и} \quad \sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}.$$

Так как $$\frac29>\frac14,$$ то и

$$\left(\frac29\right)^3>\left(\frac14\right)^3,$$

а при извлечении пятого корня знак неравенства сохраняется:

$$\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3} > \sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}.$$

$$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

Пусть $$x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}, \; y=\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}.$$ Тогда

$$\left(x^2-y^2\right)=(x-y)(x+y).$$

Получаем

$$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$$

$$=\left(2\sqrt[3]{b}\right)\left(2\sqrt[3]{a}\right)=4\sqrt[3]{ab}.$$