Проверь себя 9 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2 Найти точки экстремума функции у=x/3 + 3/x.
3 Построить график функции:
1) у = 2х4 — х2 + 1;
2) у = х3 — 3x.
4 Функция у = х + 4/x непрерывна на отрезке [1; 5]. Найти наибольшее и наименьшее значения.
5 Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?
$$y=6x-2x^3$$
Найдём производную:
$$y'(x)=6-6x^2=6(1-x^2)=6(1-x)(1+x)$$
Критические точки:
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=1$$
Знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in(-1;1), \qquad y'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$.
$$y=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}, \qquad x\ne 0$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac13-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-9}{3x^2}$$
Критические точки:
$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3$$
Так как $$3x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется числителем:
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty), \qquad y'(x)<0 \text{ при } x\in(-3;0)\cup(0;3)$$
Значит, при $$x=-3$$ — точка максимума, при $$x=3$$ — точка минимума.
$$y(-3)=-1-1=-2$$
$$y(3)=1+1=2$$
1) $$y=2x^4-x^2+1$$
$$y'(x)=8x^3-2x=2x(4x^2-1)=2x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$
Критические точки:
$$x=-\frac12,\; 0,\; \frac12$$
Знак производной:
$$y'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-\tfrac12)\cup(0;\tfrac12), \qquad y'(x)>0 \text{ на } (-\tfrac12;0)\cup(\tfrac12;+\infty)$$
Точки экстремума:
$$y(0)=1$$
$$y\left(\pm\frac12\right)=2\cdot\frac{1}{16}-\frac14+1=\frac78$$
Минимумы: $$\left(-\frac12;\frac78\right)$$ и $$\left(\frac12;\frac78\right)$$, максимум: $$\left(0;1\right)$$.
2) $$y=x^3-3x$$
$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
Критические точки:
$$x=-1,\;1$$
Знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(1;+\infty), \qquad y'(x)<0 \text{ на } (-1;1)$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=-1+3=2$$
$$y(1)=1-3=-2$$
Максимум: $$(-1;2)$$, минимум: $$(1;-2)$$.
$$y=x+\frac{4}{x}, \qquad x\in[1;5]$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$$
Критическая точка на отрезке:
$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2,\quad \text{на } [1;5] \text{ подходит } x=2$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(1)=1+4=5$$
$$y(2)=2+2=4$$
$$y(5)=5+\frac45=\frac{29}{5}$$
Наименьшее значение равно $$4$$, наибольшее значение равно $$\frac{29}{5}$$.
Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $$x$$ и $$4-x$$, так как периметр основания равен $$8$$ м:
$$2(x+(4-x))=8$$
Высота равна $$3$$ м, значит объём:
$$V=3x(4-x)=12x-3x^2$$
Это парабола, ветви направлены вниз, поэтому максимум достигается в вершине:
$$x=\frac{-12}{2\cdot(-3)}=2$$
Тогда вторая сторона основания:
$$4-x=2$$
Следовательно, стороны основания должны быть равны $$2$$ м и $$2$$ м.
Ответ
1) Возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$.
2) Точка максимума $$(-3;-2)$$, точка минимума $$(3;2)$$.
3) 1) Для $$y=2x^4-x^2+1$$: максимум $$\left(0;1\right)$$, минимумы $$\left(-\frac12;\frac78\right)$$ и $$\left(\frac12;\frac78\right)$$.
3) 2) Для $$y=x^3-3x$$: максимум $$(-1;2)$$, минимум $$(1;-2)$$.
4) Наименьшее значение $$4$$, наибольшее значение $$\frac{29}{5}$$.
5) $$2$$ м и $$2$$ м.
