Проверь себя 9 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума функции $$y=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$$.
- Построить график функции:
1) $$y=2x^4-x^2+1$$;
2) $$y=x^3-3x$$. - Функция $$y=x+\frac{4}{x}$$ непрерывна на отрезке $$[1;5]$$. Найти наибольшее и наименьшее значения.
- Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?
Найдём производную:
$$y’=6-6x^2=6(1-x^2).$$
Критические точки:
$$6(1-x^2)=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-1;1), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-1;1)$$ и убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac13-\frac{3}{x^2}, \qquad x\ne 0.$$
Приравняем к нулю:
$$\frac13-\frac{3}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-3;0)\cup(0;3).$$
Значит, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=3$$ — минимум.
Найдём значения функции:
$$y(-3)=-1-1=-2,$$
$$y(3)=1+1=2.$$
Точки экстремума: $$(-3;-2)$$ — точка максимума, $$(3;2)$$ — точка минимума.
1) $$y=2x^4-x^2+1$$
Функция чётная, так как содержит только чётные степени $$x$$, значит график симметричен относительно оси $$Oy$$.
Найдём производную:
$$y’=8x^3-2x=2x(4x^2-1).$$
Критические точки:
$$2x(4x^2-1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm \frac12.$$
Значения функции в них:
$$y(0)=1,$$
$$y\!\left(\pm \frac12\right)=2\cdot \frac1{16}-\frac14+1=\frac18-\frac14+1=\frac78.$$
Итак, график проходит через точки $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(\pm \frac12;\frac78\right)$$, имеет два минимума в точках $$x=\pm \frac12$$ и локальный максимум в точке $$x=0$$. При $$x\to \pm \infty$$ выполняется $$y\to +\infty$$.
2) $$y=x^3-3x$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
Критические точки:
$$3(x^2-1)=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Значения функции:
$$y(-1)=2,\qquad y(0)=0,\qquad y(1)=-2.$$
Функция нечётная, поэтому график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки $$(-1;2)$$, $$(0;0)$$, $$(1;-2)$$; при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$, при $$x\to +\infty$$ — $$y\to +\infty$$.
Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{4}{x}$$ на отрезке $$[1;5]$$.
Найдём производную:
$$y’=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
Критическая точка на отрезке:
$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2,$$
на отрезке $$[1;5]$$ подходит только $$x=2$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(1)=1+4=5,$$
$$y(2)=2+2=4,$$
$$y(5)=5+\frac45=\frac{29}{5}.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$4$$ при $$x=2$$, а наибольшее значение равно $$\frac{29}{5}$$ при $$x=5$$.
Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$2(x+y)=8 \Rightarrow x+y=4,$$
а высота равна $$3$$ м. Объём:
$$V=3xy.$$
При фиксированной сумме $$x+y=4$$ произведение $$xy$$ максимально, когда $$x=y$$. Значит,
$$x=y=2.$$
Следовательно, стороны основания должны быть по $$2$$ м.
Ответ: 1) возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; 2) $$(-3;-2)$$ — максимум, $$(3;2)$$ — минимум; 3) графики построены по указанным точкам и свойствам; 4) $$\min y=4$$, $$\max y=\frac{29}{5}$$; 5) $$2$$ м и $$2$$ м.
