Проверь себя 8 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2 Найти производную функции:
1) 3/x + 2 (корень x) — ex;
2) (3x-5)4;
3) 3sin2xcosx;
4) x3/(x2+5).
3 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = cos Зх в точке с абсциссой х0=пи/6.
4 Найти угол между касательной к графику функции у = х4 — 2х3 + 3 в точке с абсциссой х0 = 1/2 и осью Ох.

1. $$f(x)=3x^3+4x-1$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=9x^2+4$$

   Тогда

   $$f'(3)=9\cdot 3^2+4=81+4=85$$

2. Найдём производные функций.

   1) $$\left(\frac{3}{x}+2\sqrt{x}-e^x\right)’=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-e^x$$

   2) $$\bigl(3x-5\bigr)^4{}’=4(3x-5)^3\cdot 3=12(3x-5)^3$$

   3) $$\bigl(3\sin 2x\cos x\bigr)’=3\bigl((\sin 2x)’\cos x+\sin 2x(\cos x)’\bigr)$$

   $$=3\bigl(2\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\bigr)$$

   $$=6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x$$

   4) $$\left(\frac{x^3}{x^2+5}\right)’=\frac{3x^2(x^2+5)-x^3\cdot 2x}{(x^2+5)^2}$$

   $$=\frac{3x^4+15x^2-2x^4}{(x^2+5)^2}=\frac{x^4+15x^2}{(x^2+5)^2}=\frac{x^2(x^2+15)}{(x^2+5)^2}$$

3. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке:

   $$y=\cos 3x,\qquad y’=-3\sin 3x$$

   При $$x_0=\frac{\pi}{6}$$ получаем:

   $$k=y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=-3\sin\frac{\pi}{2}=-3$$

4. Для функции $$y=x^4-2x^3+3$$ найдём производную:

   $$y’=4x^3-6x^2$$

   При $$x_0=\frac12$$:

   $$k=y’\left(\frac12\right)=4\cdot\left(\frac12\right)^3-6\cdot\left(\frac12\right)^2=\frac12-\frac32=-1$$

   Тогда угол наклона касательной к оси $$Ox$$ удовлетворяет равенству

   $$\tan\alpha=-1$$

   Берём угол между прямой и положительным направлением оси $$Ox$$:

   $$\alpha=\frac{3\pi}{4}$$

Ответ

1) $$85$$;

2) $$-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-e^x,\quad 12(3x-5)^3,\quad 6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x,\quad \frac{x^2(x^2+15)}{(x^2+5)^2}$$;

3) $$-3$$;

4) $$\frac{3\pi}{4}$$.