Проверь себя 7 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2 Построить графики функций у = sin х, у = cos х на отрез ке [-пи; 2пи]. Для каждой из этих функций найти значе ния х из данного отрезка, при которых у (х) = 1, у (x) = -1 у (х) = 0, у (х) > 0, у (х) < 0. 3 Построить схематически график функции у = tg х на отрезке [-3пи/2; пи/2]. Найти значения x, при которых tg х = О, tg х < 0, tg х > 0 на данном отрезке.

1. Для функции $$y=\tg 4x$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\cos 4x \ne 0.$$

   Значит,

   $$4x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x \ne \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\tg(-4x)=-\tg 4x=-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. Для функции $$y=\sin x$$ на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

   • $$y(x)=1$$ при $$x=\frac{\pi}{2};$$
   • $$y(x)=-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2};$$
   • $$y(x)=0$$ при $$x=-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi;$$
   • $$y(x)>0$$ при $$x\in(-\pi;0)\cup(\pi;2\pi);$$
   • $$y(x)<0$$ при $$x\in(0;\pi).$$

   Для функции $$y=\cos x$$ на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

   • $$y(x)=1$$ при $$x=0,\ 2\pi;$$
   • $$y(x)=-1$$ при $$x=-\pi,\ \pi;$$
   • $$y(x)=0$$ при $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2};$$
   • $$y(x)>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right);$$
   • $$y(x)<0$$ при $$x\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$

3. Функция $$y=\tg x$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеет разрывы при

   $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}.$$

   Нули функции:

   $$\tg x=0 \iff x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   поэтому на данном отрезке

   $$x=-\pi,\ 0.$$

   Знак функции:

   • $$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{3\pi}{2};-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0\right);$$
   • $$\tg x>0$$ при $$x\in\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\mid n\in\mathbb Z\right\},$$ функция нечётная.
2) Для $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ значения указаны выше.
3) $$\tg x=0$$ при $$x=-\pi,\ 0$$; $$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{3\pi}{2};-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0\right)$$; $$\tg x>0$$ при $$x\in\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$