Проверь себя 7 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Построить графики функций $$y=\sin x$$, $$y=\cos x$$ на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$. Для каждой из этих функций найти значения $$x$$ из данного отрезка, при которых $$y(x)=1$$, $$y(x)=-1$$, $$y(x)=0$$, $$y(x)>0$$, $$y(x)<0$$.
Построить схематически график функции $$y=\tg x$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$. Найти значения $$x$$, при которых $$\tg x=0$$, $$\tg x<0$$, $$\tg x>0$$ на данном отрезке.

Подробный ответ

1) Для функции $$y=\tg 4x$$ область определения задаётся условием, что знаменатель тангенса не равен нулю:

$$\cos 4x\ne 0.$$

Значит,

$$4x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x\ne \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\tg(-4x)=-\tg 4x=-y(x).$$

Значит, функция нечётная.

2) Рассмотрим функции $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ на отрезке $$[-\pi;2\pi].$$

Для $$y=\sin x$$:

$$y(x)=1$$ при $$x=\frac{\pi}{2};$$
$$y(x)=-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2};$$
$$y(x)=0$$ при $$x=-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi;$$
$$y(x)>0$$ при $$x\in(-\pi;0)\cup(\pi;2\pi);$$
$$y(x)<0$$ при $$x\in(0;\pi).$$

Для $$y=\cos x$$:

$$y(x)=1$$ при $$x=0,\ 2\pi;$$
$$y(x)=-1$$ при $$x=-\pi,\ \pi;$$
$$y(x)=0$$ при $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2};$$
$$y(x)>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right);$$
$$y(x)<0$$ при $$x\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$

3) Для функции $$y=\tg x$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ учитываем, что тангенс не определён при $$x=-\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда:

$$\tg x=0$$ при $$x=-\pi,\ 0;$$
$$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{3\pi}{2};-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0\right);$$
$$\tg x>0$$ при $$x\in\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ:

1) $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\mid n\in\mathbb Z\right\},$$ функция нечётная.

2) Для $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ значения $$x$$ указаны выше.

3) $$\tg x=0$$ при $$x=-\pi,\ 0,$$ $$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{3\pi}{2};-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0\right),$$ $$\tg x>0$$ при $$x\in\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$