Проверь себя 6 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) arccos 1 + arcsin 0;
2) arccos (-1/2) — arcsin(корень 3)/2.
2 Решить уравнение:
1) sin Зх cos х — sin х cos Зх = 1;
2) 2 cos2x + 5 cos х = 3;
3) tg x — 3 ctg х = 0;
4) sin Зх — sin х = 0;
5) 2 sin x + sin 2x = 0.
Найдём значения выражений:
$$\arccos 1+\arcsin 0=0+0=0.$$
$$\arccos\left(-\frac12\right)-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.$$
Решим уравнения:
1) $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=1.$$
Используем формулу $$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B):$$
$$\sin(3x-x)=1,$$
$$\sin 2x=1.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$2) $$2\cos^2 x+5\cos x=3.$$
Обозначим $$t=\cos x.$$ Тогда
$$2t^2+5t-3=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=25+24=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}.$$
Получаем
$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-3.$$
Значение $$t=-3$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Значит,
$$\cos x=\frac12,$$
откуда
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$3) $$\tg x-3\ctg x=0.$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$\tg^2 x-3=0,$$
$$\tg^2 x=3,$$
$$\tg x=\pm\sqrt3.$$
Тогда
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$4) $$\sin 3x-\sin x=0.$$
Используем формулу разности синусов:
$$2\cos 2x\sin x=0.$$
Тогда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$
Отсюда
$$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
или
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$5) $$2\sin x+\sin 2x=0.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем:
$$2\sin x+2\sin x\cos x=0,$$
$$2\sin x(1+\cos x)=0.$$
Значит,
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$
Но $$\cos x=-1$$ уже входит в решение $$\sin x=0,$$ поэтому
$$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$0,\ \frac{\pi}{3}.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
