Проверь себя 6 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1) $$\arccos 1+\arcsin 0$$;
   2) $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{\arcsin\left(\sqrt{3}\right)}{2}$$.
2. Решить уравнение:
   1) $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=1$$;
   2) $$2\cos 2x+5\cos x=3$$;
   3) $$\tg x-3\ctg x=0$$;
   4) $$\sin 3x-\sin x=0$$;
   5) $$2\sin x+\sin 2x=0$$.

1) $$\arccos 1+\arcsin 0=0+0=0.$$

2) $$\arccos\left(-\frac12\right)-\arcsin\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.$$

Ход решения

1. $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=1.$$

   Используем формулу $$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B):$$

   $$\sin(3x-x)=1,$$

   $$\sin 2x=1.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos^2 x+5\cos x=3.$$

   Положим $$t=\cos x.$$ Тогда

   $$2t^2+5t-3=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

   Получаем:

   $$t_1=\frac12,\qquad t_2=-3.$$

   Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ значение $$t_2=-3$$ не подходит. Значит,

   $$\cos x=\frac12,$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x-3\ctg x=0.$$

   Пусть $$\ctg x=\frac{1}{\tg x}$$, тогда

   $$\tg x-\frac{3}{\tg x}=0.$$

   Умножим на $$\tg x$$:

   $$\tg^2 x-3=0,$$

   $$\tg^2 x=3,$$

   $$\tg x=\pm\sqrt3.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin 3x-\sin x=0.$$

   Используем формулу разности синусов:

   $$2\cos 2x\sin x=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$2\sin x+\sin 2x=0.$$

   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

   $$2\sin x+2\sin x\cos x=0,$$

   $$2\sin x(1+\cos x)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 1+\cos x=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   что уже входит в решение $$x=\pi n.$$

Ответ

1) $$0; \ \frac{\pi}{3}.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$