Упр.998 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти одну из первообразных функции:

1. $$\frac{x}{x-3}$$;
2. $$\frac{x-1}{x^2+x-2}$$;
3. $$\cos^2 x$$;
4. $$\sin^3 x\cos^5 x$$.

1) $$\frac{x}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int \left(1+\frac{3}{x-3}\right)\,dx=x+3\ln|x-3|+C.$$

2) $$\frac{x-1}{x^2+x-2}=\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int \frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x+2|+C.$$

3) $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C=\frac{2x+\sin 2x}{4}+C.$$

4) $$\sin 3x\cdot \cos 5x=\frac{1}{2}\bigl(\sin 8x-\sin 2x\bigr)$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int \frac{1}{2}\bigl(\sin 8x-\sin 2x\bigr)\,dx=-\frac{\cos 8x}{16}+\frac{\cos 2x}{4}+C=\frac{4\cos 2x-\cos 8x}{16}+C.$$

Ответ

1) $$x+3\ln|x-3|+C$$

2) $$\ln|x+2|+C$$

3) $$\frac{2x+\sin 2x}{4}+C$$

4) $$\frac{4\cos 2x-\cos 8x}{16}+C$$