Упр.997 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 997 Найти первообразную функции у = 2 sin5х + 3 cosx/2 которая при x = пи/3 принимает значение, равное 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 997 1111

Подробный ответ

Найдём первообразную функции

$$y=2\sin 5x+3\cos \frac{x}{2}.$$

Интегрируем по частям:

$$F(x)=\int \left(2\sin 5x+3\cos \frac{x}{2}\right)\,dx=-\frac{2}{5}\cos 5x+6\sin \frac{x}{2}+C.$$

Используем условие $$F\left(\frac{\pi}{3}\right)=0.$$ Тогда

$$0=-\frac{2}{5}\cos \frac{5\pi}{3}+6\sin \frac{\pi}{6}+C.$$

Так как $$\cos \frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},$$ получаем

$$0=-\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}+6\cdot \frac{1}{2}+C=-\frac{1}{5}+3+C,$$

откуда

$$C=-\frac{14}{5}.$$

Следовательно, искомая первообразная: