Упр.997 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти первообразную функции $$y=2\sin 5x+\frac{3\cos x}{2}$$, которая при $$x=\frac{\pi}{3}$$ принимает значение, равное 0.

Найдём первообразную функции $$y=2\sin 5x+3\cos \frac{x}{2}.$$

Интегрируем по частям:

$$F(x)=\int \left(2\sin 5x+3\cos \frac{x}{2}\right)\,dx=-\frac{2}{5}\cos 5x+6\sin \frac{x}{2}+C.$$

Используем условие $$F\left(\frac{\pi}{3}\right)=0.$$ Тогда

$$0=-\frac{2}{5}\cos \frac{5\pi}{3}+6\sin \frac{\pi}{6}+C.$$

Так как $$\cos \frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}, \qquad \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},$$ получаем

$$0=-\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}+6\cdot \frac{1}{2}+C=-\frac{1}{5}+3+C,$$

откуда

$$C=-\frac{14}{5}.$$

Следовательно, искомая первообразная:

$$F(x)=-\frac{2}{5}\cos 5x+6\sin \frac{x}{2}-\frac{14}{5}.$$

Ответ: $$F(x)=-\frac{2}{5}\cos 5x+6\sin \frac{x}{2}-\frac{14}{5}.$$