Упр.992 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
   1) $$f(x)=2x+3$$, $$M(1;2)$$;
   2) $$f(x)=4x-1$$, $$M(-1;3)$$;
   3) $$f(x)=\sin 2x$$, $$M\left(\frac{\pi}{2};5\right)$$;
   4) $$f(x)=\cos 3x$$, $$M(0;0)$$.

Найдём первообразную $$F(x)$$ для каждой функции и подберём постоянную $$C$$ из условия прохождения графика через заданную точку.

1. $$f(x)=2x+3,\quad M(1;2)$$

   $$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C.$$

   Подставим точку $$M(1;2)$$:

   $$2=1^2+3\cdot 1+C,$$

   $$2=4+C,\quad C=-2.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=x^2+3x-2.$$

2. $$f(x)=4x-1,\quad M(-1;3)$$

   $$F(x)=\int (4x-1)\,dx=2x^2-x+C.$$

   Подставим точку $$M(-1;3)$$:

   $$3=2\cdot(-1)^2-(-1)+C,$$

   $$3=2+1+C,\quad C=0.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=2x^2-x.$$

3. $$f(x)=\sin 2x,\quad M\left(\frac{\pi}{2};5\right)$$

   $$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};5\right)$$:

   $$5=-\frac{1}{2}\cos \pi + C,$$

   $$5=\frac{1}{2}+C,\quad C=\frac{9}{2}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{9-\cos 2x}{2}.$$

4. $$f(x)=\cos 3x,\quad M(0;0)$$

   $$F(x)=\int \cos 3x\,dx=\frac{1}{3}\sin 3x+C.$$

   Подставим точку $$M(0;0)$$:

   $$0=\frac{1}{3}\sin 0+C,$$

   $$0=C.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x.$$

Ответ: 1) $$F(x)=x^2+3x-2$$; 2) $$F(x)=2x^2-x$$; 3) $$F(x)=\frac{9-\cos 2x}{2}$$; 4) $$F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x$$.