Упр.991 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все первообразные функции:

1. $$\sin(2x+3)$$;
2. $$\cos(3x+4)$$;
3. $$\cos\left(\frac{x}{2}-1\right)$$;
4. $$\sin\left(\frac{x}{4}+5\right)$$;
5. $$e^{\frac{x+1}{2}}$$;
6. $$e^{3x-5}$$;
7. $$\frac{1}{2x}$$;
8. $$\frac{1}{3x-1}$$.

Найдём первообразные, используя формулы:

$$\int \sin(ax+b)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C,$$

$$\int e^{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+C,$$

$$\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.$$

1. $$\int \sin(2x+3)\,dx=-\frac{1}{2}\cos(2x+3)+C.$$

2. $$\int \cos(3x+4)\,dx=\frac{1}{3}\sin(3x+4)+C.$$

3. $$\int \cos\left(\frac{x}{2}-1\right)\,dx=2\sin\left(\frac{x}{2}-1\right)+C.$$

4. $$\int \sin\left(\frac{x}{4}+5\right)\,dx=-4\cos\left(\frac{x}{4}+5\right)+C.$$

5. $$\int e^{\frac{x+1}{2}}\,dx=2e^{\frac{x+1}{2}}+C.$$

6. $$\int e^{3x-5}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x-5}+C.$$

7. $$\int \frac{1}{2x}\,dx=\frac{1}{2}\ln|x|+C.$$

8. $$\int \frac{1}{3x-1}\,dx=\frac{1}{3}\ln|3x-1|+C.$$

Ответ

1. $$-\frac{1}{2}\cos(2x+3)+C$$
2. $$\frac{1}{3}\sin(3x+4)+C$$
3. $$2\sin\left(\frac{x}{2}-1\right)+C$$
4. $$-4\cos\left(\frac{x}{4}+5\right)+C$$
5. $$2e^{\frac{x+1}{2}}+C$$
6. $$\frac{1}{3}e^{3x-5}+C$$
7. $$\frac{1}{2}\ln|x|+C$$
8. $$\frac{1}{3}\ln|3x-1|+C$$