Упр.986 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$: 1) $$f(x)=x$$, $$M(-1; 3)$$; 2) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$M(9; 10)$$.

1) Для функции $$f(x)=x$$ первообразная имеет вид

$$F(x)=\frac{x^2}{2}+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(-1;3),$$ подставим её координаты:

$$3=\frac{(-1)^2}{2}+C=\frac12+C.$$

Отсюда

$$C=3-\frac12=\frac52.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac52=\frac{x^2+5}{2}.$$

2) Для функции $$f(x)=\sqrt{x}$$ первообразная имеет вид

$$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac32}+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(9;10),$$ подставим её координаты:

$$10=\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac32}+C.$$

Вычислим:

$$9^{\frac32}=(\sqrt{9})^3=3^3=27,$$

тогда

$$10=\frac{2}{3}\cdot 27+C=18+C.$$

Отсюда

$$C=-8.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac32}-8=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-8.$$

Ответ: 1) $$F(x)=\frac{x^2+5}{2};$$ 2) $$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac32}-8.$$