Упр.981 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) У = (x2 — 1) корень (x+1);
2) у = |х| * корень 3 степени (1+3x);
3) у = x2e^-x;
4) у = x3е^-х.
$$y=(x^2-1)\sqrt{x+1}$$
Область определения: $$x+1\ge 0,$$ значит $$D(y)=[-1;+\infty).$$
Найдём производную:
$$ y’ = 2x\sqrt{x+1} + (x^2-1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{5x^2+4x-1}{2\sqrt{x+1}}. $$
Критические точки из уравнения $$5x^2+4x-1=0$$:
$$ D=4^2-4\cdot 5\cdot(-1)=36, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{10}. $$
Отсюда $$x_1=-1,\quad x_2=\frac15.$$Значения функции в этих точках:
$$ y(-1)=0,\qquad y\!\left(\frac15\right)=\left(\frac1{25}-1\right)\sqrt{\frac65} =-\frac{24\sqrt{30}}{125}. $$
Так как знаменатель $$2\sqrt{x+1}>0$$ при $$x>-1,$$ то знак $$y’$$ определяется числителем. Следовательно, функция убывает на $$(-1;\frac15)$$ и возрастает на $$\left(\frac15;+\infty\right).$$
График проходит через точки $$(-1,0)$$ и $$\left(\frac15,-\frac{24\sqrt{30}}{125}\right)$$, в точке $$x=\frac15$$ имеет минимум.
$$y=|x|\sqrt[3]{1+3x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Рассмотрим отдельно случаи:
если $$x>0,$$ то $$y=x\sqrt[3]{1+3x},$$
если $$x<0,$$ то $$y=-x\sqrt[3]{1+3x}.$$Производная при $$x>0$$:
$$ y’=\sqrt[3]{1+3x}+\frac{x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}} =\frac{1+4x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}. $$
Производная при $$x<0$$:
$$ y’=-\sqrt[3]{1+3x}-\frac{x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}} =-\frac{1+4x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}. $$
Стационарная точка из уравнения $$1+4x=0$$:
$$x=-\frac14.$$
Значение функции в этой точке:
$$ y\!\left(-\frac14\right)=\left|\!-\frac14\right|\sqrt[3]{1-\frac34} =\frac14\sqrt[3]{\frac14} =\frac{1}{4\sqrt[3]{4}}. $$
Также $$y(0)=0.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14)$$ и $$ (0;+\infty),$$ убывает на $$(-\frac14;0).$$
Следовательно, $$x=-\frac14$$ — точка максимума, а $$x=0$$ — точка минимума.
$$y=x^2e^{-x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$ y’ = 2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}x(2-x). $$
Критические точки:
$$x=0,\quad x=2.$$
Значения функции:
$$ y(0)=0,\qquad y(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}. $$
Так как $$e^{-x}>0,$$ знак производной определяется выражением $$x(2-x).$$ Поэтому функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (2;+\infty),$$ возрастает на $$ (0;2).$$
Точка $$x=0$$ — минимум, $$x=2$$ — максимум. При $$x\to+\infty$$ имеем $$x^2e^{-x}\to 0,$$ значит горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
$$y=x^3e^{-x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$ y’ = 3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}=e^{-x}(3x^2-x^3)=e^{-x}x^2(3-x). $$
Критические точки:
$$x=0,\quad x=3.$$
Значения функции:
$$ y(0)=0,\qquad y(3)=27e^{-3}=\frac{27}{e^3}. $$
Так как $$e^{-x}>0$$ и $$x^2\ge 0,$$ знак $$y’$$ определяется множителем $$3-x.$$ Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;3)$$ и убывает на $$ (3;+\infty).$$
Точка $$x=3$$ — точка максимума. При $$x\to+\infty$$ имеем $$x^3e^{-x}\to 0,$$ значит горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
Ответ
1) $$D(y)=[-1;+\infty),$$ минимум при $$x=\frac15,$$ $$y_{\min}=-\frac{24\sqrt{30}}{125}.$$
2) $$D(y)=\mathbb{R},$$ максимум при $$x=-\frac14,$$ $$y_{\max}=\frac{1}{4\sqrt[3]{4}},$$ минимум при $$x=0,$$ $$y_{\min}=0.$$
3) $$D(y)=\mathbb{R},$$ минимум при $$x=0,$$ $$y_{\min}=0,$$ максимум при $$x=2,$$ $$y_{\max}=\frac{4}{e^2},$$ асимптота $$y=0.$$
4) $$D(y)=\mathbb{R},$$ максимум при $$x=3,$$ $$y_{\max}=\frac{27}{e^3},$$ асимптота $$y=0.$$
