Упр.981 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции:
1) $$y=(x^2-1)\sqrt{x+1}$$;
2) $$y=|x|\sqrt[3]{1+3x}$$;
3) $$y=x^2e^{-x}$$;
4) $$y=x^3e^{-x}$$.

Подробный ответ

1) $$y=(x^2-1)\sqrt{x+1}$$

$$D(x)=[-1;+\infty)$$

$$y’ = 2x\sqrt{x+1} + (x^2-1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{5x^2+4x-1}{2\sqrt{x+1}}$$

$$5x^2+4x-1=0$$

$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-1)=36$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac15$$

На области определения $$x=-1$$ — конец промежутка, а стационарная точка: $$x=\frac15$$.

$$f(-1)=0,\qquad f\!\left(\frac15\right)=\left(\frac1{25}-1\right)\sqrt{\frac65}=-\frac{24\sqrt{30}}{125}$$

Функция убывает на $$(-1;\frac15)$$ и возрастает на $$\left(\frac15;+\infty\right)$$, значит, в точке $$x=\frac15$$ — минимум.

2) $$y=|x|\sqrt[3]{1+3x}$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$

Рассмотрим отдельно случаи $$x>0$$ и $$x<0$$.

Если $$x>0$$, то $$y=x\sqrt[3]{1+3x}$$ и

$$y’=\sqrt[3]{1+3x}+\frac{x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}=\frac{1+4x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}$$

Если $$x<0$$, то $$y=-x\sqrt[3]{1+3x}$$ и

$$y’=-\sqrt[3]{1+3x}-\frac{x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}=-\frac{1+4x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}$$

Критическая точка из уравнения $$1+4x=0$$:

$$x=-\frac14$$

Также производная не существует при $$1+3x=0$$, то есть при $$x=-\frac13$$.

Значения функции в характерных точках:

$$f\!\left(-\frac14\right)=\left|\!-\frac14\right|\sqrt[3]{1-\frac34}=\frac14\cdot \sqrt[3]{\frac14}=\frac{1}{4\sqrt[3]{4}}$$

$$f(0)=0$$

Функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14)$$ и $$\left(0;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\frac14;0\right)$$. Следовательно, $$x=-\frac14$$ — точка максимума, а $$x=0$$ — точка минимума.

3) $$y=x^2e^{-x}$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$

$$y’ = 2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}x(2-x)$$

$$y’=0 \iff x=0 \text{ или } x=2$$

$$f(0)=0,\qquad f(2)=\frac{4}{e^2}$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(2-x)$$. Поэтому функция убывает на $$(-\infty;0)$$, возрастает на $$(0;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty)$$.

Точка $$x=0$$ — минимум, $$x=2$$ — максимум.

Кроме того,

$$\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0$$

значит, горизонтальная асимптота: $$y=0$$.

4) $$y=x^3e^{-x}$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$

$$y’ = 3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}=e^{-x}(3x^2-x^3)=e^{-x}x^2(3-x)$$

$$y’=0 \iff x=0 \text{ или } x=3$$

$$f(0)=0,\qquad f(3)=\frac{27}{e^3}$$

Так как $$e^{-x}>0$$ и $$x^2\ge 0$$, знак производной при $$x\ne 0$$ определяется множителем $$3-x$$. Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;3)$$ и убывает на $$(3;+\infty)$$.

Точка $$x=3$$ — точка максимума.

Также

$$\lim_{x\to+\infty}x^3e^{-x}=0$$

поэтому горизонтальная асимптота: $$y=0$$.