Упр.980 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найти точки экстремума функции $$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}$$.

Подробный ответ

Найдём производную функции

$$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}.$$

Область определения:

$$x^2+3x+2\ne 0,$$

$$(x+1)(x+2)\ne 0,$$

$$x\ne -1,\; x\ne -2.$$

Вычислим производную по формуле производной частного:

$$y’=\frac{(2x-3)(x^2+3x+2)-(x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}.$$

Упростим числитель:

$$\begin{aligned} (2x-3)(x^2+3x+2)&-(x^2-3x+2)(2x+3) \\ &=2x^3+6x^2+4x-3x^2-9x-6 \\ &\quad -\left(2x^3-6x^2+4x+3x^2-9x+6\right) \\ &=6x^2-12 \\ &=6(x^2-2). \end{aligned}$$

Тогда

$$y’=\frac{6(x^2-2)}{(x^2+3x+2)^2}.$$

Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$6(x^2-2)=0,$$

$$x^2-2=0,$$

$$x=\pm\sqrt2.$$

Так как знаменатель $$(x^2+3x+2)^2$$ всегда положителен при $$x\ne -1,-2,$$ знак производной определяется выражением $$x^2-2$$:

при $$x<-\sqrt2$$ и $$x>\sqrt2$$ имеем $$y’>0$$;
при $$-\sqrt2<x<\sqrt2$$ имеем $$y'<0$$, кроме точек $$x=-2$$ и $$x=-1$$, где функция не определена.

Следовательно, в точке $$x=-\sqrt2$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума, а в точке $$x=\sqrt2$$ — с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-\sqrt2)=\frac{2+3\sqrt2+2}{2-3\sqrt2+2} =\frac{4+3\sqrt2}{4-3\sqrt2},$$

$$y(\sqrt2)=\frac{2-3\sqrt2+2}{2+3\sqrt2+2} =\frac{4-3\sqrt2}{4+3\sqrt2}.$$