Упр.979 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности $$2S$$. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось $$\frac{5}{2}$$?

Пусть длина кузова равна $$a$$, ширина — $$b$$, высота — $$h$$. По условию

$$\frac{a}{b}=\frac{5}{2},$$

значит, можно положить

$$a=5k,\qquad b=2k.$$

Площадь поверхности открытого кузова равна

$$S_{\text{пов}}=ab+2ah+2bh.$$

Так как $$S_{\text{пов}}=2S,$$ получаем

$$10k^2+2\cdot 5k h+2\cdot 2k h=2S,$$

то есть

$$10k^2+14kh=2S,$$

откуда

$$h=\frac{2S-10k^2}{14k}.$$

Тогда объём кузова

$$V=abh=5k\cdot 2k\cdot \frac{2S-10k^2}{14k}=\frac{5}{7}\left(2Sk-10k^3\right).$$

Найдём максимум функции $$V(k)$$:

$$V'(k)=\frac{5}{7}\left(2S-30k^2\right).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{5}{7}\left(2S-30k^2\right)=0,$$

$$2S-30k^2=0,$$

$$k^2=\frac{S}{15},\qquad k=\sqrt{\frac{S}{15}}.$$

Тогда

$$a=5k=5\sqrt{\frac{S}{15}},\qquad b=2k=2\sqrt{\frac{S}{15}}.$$

Ответ: $$5\sqrt{\frac{S}{15}}$$ и $$2\sqrt{\frac{S}{15}}.$$