Упр.978 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $$p$$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=p,$$

откуда

$$h=\frac{p}{2}-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{p}{2}-2r\right)=\frac{\pi p}{2}r^2-2\pi r^3.$$

Найдём максимум функции $$V(r)$$ при $$0<r<\frac{p}{4}$$:

$$V'(r)=\pi pr-6\pi r^2=\pi r(p-6r).$$

Критические точки:

$$\pi r(p-6r)=0 \quad \Rightarrow \quad r=0 \text{ или } r=\frac{p}{6}.$$

Внутри области определения подходит точка $$r=\frac{p}{6}$$, и именно в ней объём максимален. Тогда

$$h=\frac{p}{2}-2\cdot\frac{p}{6}=\frac{p}{6}.$$

Следовательно, максимальный объём равен

$$V_{\max}=\pi\left(\frac{p}{6}\right)^2\cdot\frac{p}{6}=\frac{\pi p^3}{216}.$$

Ответ: $$\frac{\pi p^3}{216}$$.