Упр.977 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 977 Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 977 1111

Пусть катеты основания прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда по условию

$$x^2+y^2=4^2=16.$$

Объём пирамиды равен

$$V=\frac13Sh,$$

где $$h=12$$, а площадь основания

$$S=\frac12xy.$$

Значит,

$$V= \frac13 \cdot \frac12xy \cdot 12 = 2xy.$$

Нужно найти наибольшее значение произведения $$xy$$ при условии $$x^2+y^2=16$$.

Из неравенства

$$x^2+y^2\ge 2xy$$

получаем

$$16\ge 2xy,$$

то есть

$$xy\le 8.$$

Равенство достигается при $$x=y$$. Тогда

$$2x^2=16,\quad x^2=8,\quad x=2\sqrt2.$$

Следовательно,

$$S_{\max}=\frac12\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt2=4,$$

а наибольший объём пирамиды равен

$$V_{\max}=\frac13\cdot 4\cdot 12=16.$$

Ответ

$$16$$