Упр.977 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна $$12$$, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой $$4$$.

Пусть катеты основания пирамиды равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию $$x^2+y^2=4^2=16.$$

Объём пирамиды равен

$$V=\frac13Sh,$$

где $$h=12$$, а площадь основания — площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac12xy.$$

Значит,

$$V= \frac13 \cdot \frac12xy \cdot 12 = 2xy.$$

Нужно найти наибольшее значение произведения $$xy$$ при условии $$x^2+y^2=16.$$

Из неравенства

$$x^2+y^2 \ge 2xy$$

получаем

$$16 \ge 2xy,$$

то есть

$$xy \le 8.$$

Равенство достигается при $$x=y$$. Тогда

$$2x^2=16,\quad x^2=8,\quad x=2\sqrt2.$$

Следовательно,

$$S_{\max}=\frac12 \cdot 2\sqrt2 \cdot 2\sqrt2 = 4,$$

и максимальный объём равен

$$V_{\max}=\frac13 \cdot 4 \cdot 12=16.$$

Ответ

$$16$$