Упр.976 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 976 Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 976 1111

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$a$$, а половина второй стороны — $$b$$. Тогда из прямоугольного треугольника получаем

$$a^2+b^2=R^2,$$

откуда

$$b=\sqrt{R^2-a^2}.$$

Ширина прямоугольника равна $$2b$$, поэтому его площадь

$$S(a)=a\cdot 2b=2a\sqrt{R^2-a^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(a)$$:

$$ S'(a)=2\sqrt{R^2-a^2}+2a\cdot \frac{-2a}{2\sqrt{R^2-a^2}} =2\sqrt{R^2-a^2}-\frac{2a^2}{\sqrt{R^2-a^2}}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S'(a)=\frac{2(R^2-a^2)-2a^2}{\sqrt{R^2-a^2}} =\frac{2(R^2-2a^2)}{\sqrt{R^2-a^2}}. $$

Критическая точка определяется из уравнения

$$R^2-2a^2=0,$$

то есть

$$a=\frac{R}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$ S_{\max}=2\cdot \frac{R}{\sqrt2}\cdot \sqrt{R^2-\frac{R^2}{2}} =2\cdot \frac{R}{\sqrt2}\cdot \frac{R}{\sqrt2} =R^2. $$

Ответ

$$R^2$$