Упр.974 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сумма диагоналей параллелограмма равна $$a$$. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Обозначим стороны параллелограмма через $$x$$ и $$y$$, а угол между ними — через $$\alpha$$. Тогда диагонали равны

$$BD=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\alpha},$$

$$AC=\sqrt{x^2+y^2+2xy\cos\alpha}.$$

По условию

$$AC+BD=a.$$

Обозначим

$$u=x^2+y^2.$$

Тогда

$$\sqrt{u+2xy\cos\alpha}+\sqrt{u-2xy\cos\alpha}=a.$$

Возведём в квадрат:

$$u+2xy\cos\alpha+u-2xy\cos\alpha+2\sqrt{u^2-4x^2y^2\cos^2\alpha}=a^2,$$

то есть

$$2u+2\sqrt{u^2-4x^2y^2\cos^2\alpha}=a^2.$$

Отсюда

$$\sqrt{u^2-4x^2y^2\cos^2\alpha}=\frac{a^2}{2}-u.$$

Правая часть неотрицательна, значит $$u\le \frac{a^2}{2}$$. После возведения в квадрат получаем

$$u^2-4x^2y^2\cos^2\alpha=\left(\frac{a^2}{2}-u\right)^2,$$

$$4x^2y^2\cos^2\alpha=a^2u-\frac{a^4}{4}.$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$a^2u-\frac{a^4}{4}\ge 0,$$

следовательно

$$u\ge \frac{a^2}{4}.$$

Но сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна

$$2x^2+2y^2=2u.$$

Значит, минимальное значение этой суммы достигается при наименьшем возможном $$u$$, то есть при

$$u=\frac{a^2}{4}.$$

Тогда

$$2u=2\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}.$$

Ответ: $$\frac{a^2}{2}$$.