Упр.973 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 973 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 973 1111

Подробный ответ

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$40-x$$, где $$0<x<40$$.

Тогда площадь треугольника:

$$S(x)=\frac12 x(40-x)=20x-\frac{x^2}{2}.$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=20-x.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$20-x=0,$$

$$x=20.$$

Так как $$S'(x)>0$$ при $$x<20$$ и $$S'(x)<0$$ при $$x>20$$, то при $$x=20$$ площадь максимальна.

Следовательно, второй катет равен

$$40-20=20.$$