Упр.973 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть $$a$$ и $$b$$ — длины катетов прямоугольного треугольника. Тогда

$$a+b=40,\qquad b=40-a.$$

Площадь треугольника:

$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a(40-a)=20a-\frac12 a^2.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=20-a.$$

Для максимума площади производная должна быть равна нулю:

$$20-a=0,\qquad a=20.$$

Тогда

$$b=40-20=20.$$

Значит, наибольшая площадь будет у прямоугольного треугольника с равными катетами.

Ответ

$$20\text{ и }20$$