Упр.971 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) f (х) = 2 sin х + sin 2х на отрезке [0;3пи/2];
2) f (х) = 2 cos х + sin 2х на отрезке [0; пи].

Подробный ответ

$$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x=2(\cos x+\cos 2x).$$
Стационарные точки:
$$\cos x+\cos 2x=0.$$
Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ получаем
$$\cos x+2\cos^2 x-1=0.$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$
Отсюда:
$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3};\qquad \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ проверяем точки $$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}.$$
$$f(0)=2\sin 0+\sin 0=0,$$
$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=2\sin\pi+\sin 2\pi=0,$$
$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=2\cdot(-1)+0=-2.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ а наименьшее — $$-2.$$
$$f(x)=2\cos x+\sin 2x,\quad x\in[0;\pi]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin x+2\cos 2x=2(\cos 2x-\sin x).$$
Стационарные точки:
$$\cos 2x-\sin x=0.$$
Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем
$$1-2\sin^2 x-\sin x=0,$$
или
$$2\sin^2 x+\sin x-1=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}.$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$f(0)=2\cos 0+\sin 0=2,$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}+\sin\frac{5\pi}{3}=2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=2\cos\pi+\sin 2\pi=-2.$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ а наименьшее — $$-\frac{3\sqrt3}{2}.$$