Упр.970 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции: 1) $$y=\frac{2}{x^2-4}$$; 2) $$y=\frac{2}{x^2+4}$$; 3) $$y=(x-1)^2(x+2)$$; 4) $$y=x(x-1)^3$$.
1) $$y=\frac{2}{x^2-4}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}$$
$$D(x)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
$$y’=\left(\frac{2}{x^2-4}\right)’=-\frac{4x}{(x^2-4)^2}$$
$$y’=0 \iff -4x=0 \iff x=0$$
$$y(0)=\frac{2}{0^2-4}=-\frac12$$
Горизонтальная асимптота:
$$y=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2-4}=0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0)$$ и убывает на $$(0;2)\cup(2;+\infty)$$. Точка $$x=0$$ — точка максимума.
2) $$y=\frac{2}{x^2+4}$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=\left(\frac{2}{x^2+4}\right)’=-\frac{4x}{(x^2+4)^2}$$
$$y’=0 \iff -4x=0 \iff x=0$$
$$y(0)=\frac{2}{4}=\frac12$$
Горизонтальная асимптота:
$$y=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2+4}=0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty)$$. Точка $$x=0$$ — точка максимума.
3) $$y=(x-1)^2(x+2)$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=\bigl((x-1)^2(x+2)\bigr)’=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2$$
$$y’=(x-1)\bigl(2(x+2)+(x-1)\bigr)=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1)$$
$$y’=0 \iff 3(x-1)(x+1)=0 \iff x=-1,\;x=1$$
$$y(-1)=(-2)^2\cdot 1=4,\qquad y(1)=0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;1)$$. Точка $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
4) $$y=x(x-1)^3$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y’=\bigl(x(x-1)^3\bigr)’=(x-1)^3+3x(x-1)^2$$
$$y’=(x-1)^2\bigl((x-1)+3x\bigr)=(x-1)^2(4x-1)$$
$$y’=0 \iff (x-1)^2(4x-1)=0 \iff x=\frac14,\;x=1$$
$$y\!\left(\frac14\right)=\frac14\left(\frac14-1\right)^3=\frac14\left(-\frac34\right)^3=-\frac{27}{256},\qquad y(1)=0$$
Функция убывает на $$(-\infty;\frac14)$$ и возрастает на $$\left(\frac14;1\right)\cup(1;+\infty)$$. Точка $$x=\frac14$$ — точка минимума.
