Упр.967 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 967 Доказать, что функция у=х( 1 + 2 корень х) возрастает на всей области определения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 967 1111

Найдём производную функции $$y=x(1+2\sqrt{x}).$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Тогда

$$ y’=(x(1+2\sqrt{x}))’=(x)'(1+2\sqrt{x})+x(1+2\sqrt{x})’ $$

$$ y’=1+2\sqrt{x}+x\cdot 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=1+2\sqrt{x}+\sqrt{x}=1+3\sqrt{x}. $$

Так как при $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$ y’=1+3\sqrt{x}>0. $$

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Ответ

Функция $$y=x(1+2\sqrt{x})$$ возрастает при всех $$x\ge 0.$$