Упр.967 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=x(1+2\sqrt{x})$$ возрастает на всей области определения.

Рассмотрим функцию $$y=x(1+2\sqrt{x}).$$

Её область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y’=(x(1+2\sqrt{x}))’=(x)'(1+2\sqrt{x})+x(1+2\sqrt{x})’$$

$$y’=1+2\sqrt{x}+x\cdot 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=1+2\sqrt{x}+\sqrt{x}=1+3\sqrt{x}.$$

Так как при $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$y’=1+3\sqrt{x}>0.$$

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Ответ

Функция $$y=x(1+2\sqrt{x})$$ возрастает при всех $$x\ge 0.$$