Упр.966 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 966 Доказать, что функция у = 1,8х5 — 2*1×3/3 + 7х + 12,5 возрастает на всей области определения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 966 1111

Найдём производную функции:

$$y = 1{,}8x^5 — 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12{,}5$$

$$y’ = (1{,}8x^5)’ — \left(2\frac{1}{3}x^3\right)’ + (7x)’ + (12{,}5)’$$

$$y’ = 1{,}8 \cdot 5x^4 — \frac{7}{3}\cdot 3x^2 + 7 = 9x^4 — 7x^2 + 7$$

Исследуем знак производной. Рассмотрим уравнение:

$$9x^4 — 7x^2 + 7 = 0$$

Положим $$t=x^2$$, тогда получим:

$$9t^2 — 7t + 7 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4\cdot 9 \cdot 7 = 49 — 252 = -203 < 0$$

Следовательно, действительных корней нет, а так как старший коэффициент положителен, то

$$9t^2 — 7t + 7 > 0$$

при всех $$t$$, значит и

$$y’ = 9x^4 — 7x^2 + 7 > 0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Ответ

Функция возрастает на всей области определения $$\mathbb{R}$$.