Упр.965 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна $$600\ \text{см}^2$$, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Пусть сторона квадрата в основании равна $$x$$, а высота параллелепипеда — $$h$$. Тогда площадь полной поверхности равна

$$S=2x^2+4xh=600.$$

Отсюда

$$x^2+2xh=300,$$

$$h=\frac{300-x^2}{2x}.$$

Объём параллелепипеда:

$$V=x^2h=x^2\cdot \frac{300-x^2}{2x}=\frac{300x-x^3}{2}.$$

Найдём максимум функции $$V(x)$$:

$$V'(x)=\frac{300-3x^2}{2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{300-3x^2}{2}=0,$$

$$300-3x^2=0,$$

$$x^2=100,$$

$$x=10$$

так как $$x>0$$.

Тогда

$$h=\frac{300-10^2}{2\cdot 10}=\frac{200}{20}=10.$$

Следовательно, наибольший объём имеет куб со стороной $$10$$ см.

Ответ: куб с ребром $$10$$ см.