Упр.964 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 964 Из всех равнобедренных треугольников с периметром р найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть $$x$$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $$a$$ — длина основания. Тогда

$$p=2x+a,\qquad a=p-2x.$$

Высота, опущенная на основание, равна

$$h=\sqrt{x^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{x^2-\left(\frac{p-2x}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}.$$

Площадь треугольника как функция $$x$$:

$$S(x)=\frac12 ah=\frac12(p-2x)\cdot \frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}=\frac{(p-2x)\sqrt{4px-p^2}}{4}.$$

Найдём производную:

$$ S'(x)=\frac14\left((p-2x)’\sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot \left(\sqrt{4px-p^2}\right)’\right) $$

$$ S'(x)=\frac14\left(-2\sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot \frac{4p}{2\sqrt{4px-p^2}}\right) $$

$$ S'(x)=\frac{p(p-3x)}{\sqrt{4px-p^2}}. $$

Так как знаменатель положителен на области определения, то знак производной определяется выражением $$p-3x$$. Следовательно,

$$S'(x)>0 \quad \text{при} \quad x<\frac p3,$$

а значит, площадь возрастает до точки $$x=\frac p3$$ и затем убывает.

При $$x=\frac p3$$ получаем

$$a=p-2x=p-\frac{2p}{3}=\frac p3.$$

Значит, равнобедренный треугольник с наибольшей площадью — это равносторонний треугольник.

Ответ

Равносторонний треугольник со стороной $$\frac p3$$.