Упр.963 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 963 Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 963 1111

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, а его периметр равен $$P$$. Тогда

$$2a+2b=P, \qquad b=\frac{P}{2}-a.$$

Диагональ прямоугольника:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{P}{2}-a\right)^2}.$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$ d=\sqrt{a^2+\frac{P^2}{4}-Pa+a^2} =\sqrt{2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}}. $$

Рассмотрим функцию

$$f(a)=\sqrt{2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}}.$$

Так как корень возрастает, достаточно найти минимум выражения под корнем:

$$g(a)=2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}.$$

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, значит минимум достигается в вершине:

$$a=\frac{-(-P)}{2\cdot 2}=\frac{P}{4}.$$

Тогда

$$b=\frac{P}{2}-\frac{P}{4}=\frac{P}{4}.$$

Следовательно, наименьшую диагональ среди всех прямоугольников данного периметра имеет тот, у которого $$a=b$$, то есть квадрат.

Ответ

Наименьшую диагональ имеет квадрат.