Упр.963 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда при фиксированном периметре $$P$$ имеем

$$2a+2b=P,\qquad b=\frac P2-a.$$

Диагональ прямоугольника равна

$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac P2-a\right)^2}=\sqrt{2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}}.$$

Рассмотрим функцию

$$f(a)=\sqrt{2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}}.$$

Найдём её производную:

$$f'(a)=\frac{4a-P}{2\sqrt{2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}}}.$$

Знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем. При

$$4a-P=0$$

получаем

$$a=\frac P4.$$

Тогда

$$b=\frac P2-\frac P4=\frac P4.$$

Следовательно, минимальная диагональ достигается при $$a=b$$, то есть прямоугольник является квадратом.

Ответ: из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.