Упр.962 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) = х3 — 6х2 + 9 на отрезке [-2; 2];
2) f (x) = х3 + 6х2 + 9х на отрезке [-4; 0];
3) f (x) = х4 — 2х2 — 3 на отрезке [-4;3];
4) f (х) = х4 — 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2].

1. $$f(x)=x^3-6x^2+9,\quad x\in[-2;2]$$

   $$f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$$

   Критическая точка на отрезке: $$x=0$$.

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$f(-2)=(-2)^3-6\cdot(-2)^2+9=-8-24+9=-23$$

   $$f(0)=9$$

   $$f(2)=2^3-6\cdot2^2+9=8-24+9=-7$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-23$$, а наибольшее — $$9$$.

2. $$f(x)=x^3+6x^2+9x,\quad x\in[-4;0]$$

   $$f'(x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3)$$

   Критические точки на отрезке: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-4)=(-4)^3+6\cdot(-4)^2+9\cdot(-4)=-64+96-36=-4$$

   $$f(-3)=(-3)^3+6\cdot(-3)^2+9\cdot(-3)=-27+54-27=0$$

   $$f(-1)=(-1)^3+6\cdot(-1)^2+9\cdot(-1)=-1+6-9=-4$$

   $$f(0)=0$$

   Значит, наименьшее значение равно $$-4$$, а наибольшее — $$0$$.

3. $$f(x)=x^4-2x^2+3,\quad x\in[-4;3]$$

   $$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

   Критические точки на отрезке: $$x=-1,\;0,\;1$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-4)=(-4)^4-2\cdot(-4)^2+3=256-32+3=227$$

   $$f(-1)=1-2+3=2$$

   $$f(0)=3$$

   $$f(1)=1-2+3=2$$

   $$f(3)=3^4-2\cdot3^2+3=81-18+3=66$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$2$$, а наибольшее — $$227$$.

4. $$f(x)=x^4-8x^2+5,\quad x\in[-3;2]$$

   $$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$

   Критические точки на отрезке: $$x=-2,\;0,\;2$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-3)=(-3)^4-8\cdot(-3)^2+5=81-72+5=14$$

   $$f(-2)=16-8\cdot4+5=16-32+5=-11$$

   $$f(0)=5$$

   $$f(2)=16-32+5=-11$$

   Значит, наименьшее значение равно $$-11$$, а наибольшее — $$14$$.

Ответ

1) $$y_{\min}=-23,\; y_{\max}=9$$; 2) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=0$$; 3) $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=227$$; 4) $$y_{\min}=-11,\; y_{\max}=14$$.