Упр.961 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = 3х2 — 6х + 5 на отрезке [0; 3];
2) у = 1х4/4 — 2х3/3 — 3х2/2 + 2 на отрезке [-2; 4]

1) Рассмотрим функцию $$y=3x^2-6x+5$$ на отрезке $$[0;3].$$

Найдём производную:

$$y’=6x-6=6(x-1).$$

Стационарная точка:

$$6(x-1)=0,\quad x=1.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$f(0)=3\cdot 0^2-6\cdot 0+5=5,$$

$$f(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1+5=2,$$

$$f(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3+5=14.$$

Так как $$y'<0$$ при $$0<x<1,$$ а $$y’>0$$ при $$1<x<3,$$ то функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;3].$$ Минимум достигается при $$x=1,$$ $$y_{\min}=2.$$

Для построения графика отметим точки $$ (0;5),\ (1;2),\ (3;14). $$ Это парабола, ветви направлены вверх, вершина находится в точке $$ (1;2). $$

2) Рассмотрим функцию $$y=\frac14x^4-\frac23x^3-\frac32x^2+2$$ на отрезке $$[-2;4].$$

Найдём производную:

$$y’=x^3-2x^2-3x=x(x^2-2x-3)=x(x+1)(x-3).$$

Стационарные точки:

$$x=-1,\quad x=0,\quad x=3.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:

$$f(-2)=\frac14\cdot 16-\frac23\cdot(-8)-\frac32\cdot 4+2=\frac{16}{3},$$

$$f(-1)=\frac14-\frac23\cdot(-1)-\frac32+2=\frac{17}{12},$$

$$f(0)=2,$$

$$f(3)=\frac14\cdot 81-\frac23\cdot 27-\frac32\cdot 9+2=-\frac{37}{4},$$

$$f(4)=\frac14\cdot 256-\frac23\cdot 64-\frac32\cdot 16+2=-\frac23.$$

Знаки производной на промежутках:

$$(-2;-1)\;-\,,\quad (-1;0)\;+\,,\quad (0;3)\;-\,,\quad (3;4)\;+. $$

Значит, функция убывает на $$[-2;-1]$$ и $$[0;3],$$ возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[3;4].$$

Для построения графика отметим точки $$(-2;\frac{16}{3}),\ (-1;\frac{17}{12}),\ (0;2),\ (3;-\frac{37}{4}),\ (4;-\frac23).$$

Ответ

1) График — парабола с вершиной $$ (1;2) $$ на отрезке $$[0;3]$$; значения в ключевых точках: $$f(0)=5,\ f(1)=2,\ f(3)=14.$$

2) График функции $$y=\frac14x^4-\frac23x^3-\frac32x^2+2$$ на отрезке $$[-2;4]$$ проходит через точки $$(-2;\frac{16}{3}),\ (-1;\frac{17}{12}),\ (0;2),\ (3;-\frac{37}{4}),\ (4;-\frac23).$$