Упр.961 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции:
- 1) $$y=3x^2-6x+5$$ на отрезке $$[0;3]$$; 2) $$y=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2$$ на отрезке $$[-2;4]$$.
1) Рассмотрим функцию $$y=3x^2-6x+5$$ на отрезке $$[0;3].$$
Найдём производную:
$$y’=6x-6=6(x-1).$$
Стационарная точка:
$$6(x-1)=0,\quad x=1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$f(0)=3\cdot 0^2-6\cdot 0+5=5,\\ f(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1+5=2,\\ f(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3+5=14.$$
Так как парабола ветвями вверх, то на $$[0;1]$$ функция убывает, а на $$[1;3]$$ возрастает. Минимум на отрезке достигается при $$x=1$$ и равен $$2$$, максимум — при $$x=3$$ и равен $$14$$.
Для построения графика отметим точки $$\,(0;5),\ (1;2),\ (3;14)\,$$ и проведём через них ветвь параболы.
2) Рассмотрим функцию $$y=\frac14x^4-\frac23x^3-\frac32x^2+2$$ на отрезке $$[-2;4].$$
Найдём производную:
$$y’=x^3-2x^2-3x=x(x^2-2x-3)=x(x+1)(x-3).$$
Стационарные точки:
$$x=-1,\quad x=0,\quad x=3.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$f(-2)=\frac{16}{3},\quad f(-1)=\frac{17}{12},\quad f(0)=2,\quad f(3)=-\frac{37}{4},\quad f(4)=-\frac{2}{3}.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -2 & (-2;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;3) & 3 & (3;4) & 4\\ \hline y’ & & — & 0 & + & 0 & — & 0 & + & \end{array}$$
Значит, функция убывает на $$[-2;-1]$$ и $$[0;3]$$, возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[3;4].$$
На отрезке $$[-2;4]$$ минимум равен $$-\frac{37}{4}$$ при $$x=3,$$ а максимум равен $$\frac{16}{3}$$ при $$x=-2.$$
Для построения графика отметим точки $$(-2;\frac{16}{3}),\ (-1;\frac{17}{12}),\ (0;2),\ (3;-\frac{37}{4}),\ (4;-\frac{2}{3})$$ и соединим их плавной линией с учётом промежутков возрастания и убывания.
