Упр.960 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$;
2) $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$.
1) $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = x^2+6x = x(x+6)$$
Стационарные точки:
$$x(x+6)=0 \Rightarrow x=-6,\; x=0$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$f(-6)=\frac{(-6)^3}{3}+3\cdot(-6)^2=-72+108=36$$
$$f(0)=0$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-6;0)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$ и убывает на $$(-6;0)$$. В точке $$x=-6$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум.
Опорные точки для построения графика: $$(-6;36)$$ и $$(0;0)$$.
2) $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=-x^3+2x=x(2-x^2)=x(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)$$
Стационарные точки:
$$x=-\sqrt2,\; x=0,\; x=\sqrt2$$
Вычислим значения функции:
$$f(\pm\sqrt2)=-\frac{(\pm\sqrt2)^4}{4}+(\pm\sqrt2)^2=-\frac{4}{4}+2=1$$
$$f(0)=0$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2)$$ и убывает на $$(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty)$$. В точке $$x=0$$ — минимум, в точках $$x=\pm\sqrt2$$ — максимумы.
Опорные точки для построения графика: $$(-\sqrt2;1)$$, $$(0;0)$$, $$(\sqrt2;1)$$.
Ответ
1) График функции $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$ проходит через точки $$(-6;36)$$ и $$(0;0)$$, имеет максимум при $$x=-6$$ и минимум при $$x=0$$.
2) График функции $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$ проходит через точки $$(-\sqrt2;1)$$, $$(0;0)$$, $$(\sqrt2;1)$$, имеет максимумы при $$x=\pm\sqrt2$$ и минимум при $$x=0$$.
