Упр.960 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) y=x3/3 + 3×2;
2) y=-x4/4 + x2.
Построим график функции $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = x^2+6x = x(x+6).$$
Стационарные точки:
$$x(x+6)=0 \Rightarrow x_1=-6,\; x_2=0.$$
Исследуем знак производной:
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-6) & -6 & (-6;0) & 0 & (0;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array} $$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-6)$$ и $$ (0;+\infty),$$ убывает на $$(-6;0).$$
Значения в стационарных точках:
$$y(-6)=\frac{(-6)^3}{3}+3\cdot(-6)^2=-72+108=36,$$
$$y(0)=0.$$
Следовательно, точка $$(-6;36)$$ — точка максимума, а точка $$(0;0)$$ — точка минимума.
Для построения графика удобно отметить также нули функции:
$$ y=\frac{x^3}{3}+3x^2=\frac{x^2(x+9)}{3}, $$
откуда $$x=0$$ и $$x=-9.$$
Построим график функции $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=-x^3+2x=x(2-x^2).$$
Стационарные точки:
$$x(2-x^2)=0 \Rightarrow x_1=-\sqrt2,\; x_2=0,\; x_3=\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
$$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-\sqrt2) & -\sqrt2 & (-\sqrt2;0) & 0 & (0;\sqrt2) & \sqrt2 & (\sqrt2;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + & 0 & — \\ \end{array} $$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2)$$ и $$(0;\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2;0)$$ и $$(\sqrt2;+\infty).$$
Значения функции в стационарных точках:
$$y(\pm\sqrt2)=-\frac{(\pm\sqrt2)^4}{4}+(\pm\sqrt2)^2=-\frac{4}{4}+2=1,$$
$$y(0)=0.$$
Следовательно, точки $$(-\sqrt2;1)$$ и $$(\sqrt2;1)$$ — точки максимума, а точка $$(0;0)$$ — точка минимума.
Нули функции:
$$ -\frac{x^4}{4}+x^2=x^2\left(1-\frac{x^2}{4}\right)=0 $$
откуда $$x=0,\; x=\pm2.$$
Ответ
1) График функции $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$ проходит через точки $$(-9;0),\;(-6;36),\;(0;0)$$; возрастает на $$(-\infty;-6)$$ и $$(0;+\infty),$$ убывает на $$(-6;0).$$
2) График функции $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$ проходит через точки $$(-2;0),\;(-\sqrt2;1),\;(0;0),\;(\sqrt2;1),\;(2;0)$$; возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2)$$ и $$(0;\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2;0)$$ и $$(\sqrt2;+\infty).$$
