Упр.959 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
   1) $$y=x^5-2{,}5x^2+3$$;
   2) $$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$.

1) Найдём производную функции:

$$y=x^5-2{,}5x^2+3$$

$$y’=5x^4-5x=5x(x^3-1)=5x(x-1)(x^2+x+1)$$

Критические точки:

$$5x(x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1$$

Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x(x-1)$$:

при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$.

Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

Найдём значения функции:

$$y(0)=0-0+3=3$$

$$y(1)=1-2{,}5+3=1{,}5$$

2) Найдём производную функции:

$$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$

$$y’=x^4-8x=x(x^3-8)=x(x-2)(x^2+2x+4)$$

Критические точки:

$$x(x-2)(x^2+2x+4)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x(x-2)$$:

при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<2$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>2$$ имеем $$y’>0$$.

Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

Найдём значения функции:

$$y(0)=-3$$

$$y(2)=0{,}2\cdot 2^5-4\cdot 2^2-3=0{,}2\cdot 32-16-3=6{,}4-19=-12{,}6$$

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=3$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y(1)=1{,}5$$.

2) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=-3$$; $$x=2$$ — точка минимума, $$y(2)=-12{,}6$$.