Упр.959 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = х5- 2,5х2 + 3;
2) у = 0,2х5 — 4х2 — 3.

1. $$y=x^5-2{,}5x^2+3$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^5-2{,}5x^2+3)’=5x^4-5x=5x(x^3-1)=5x(x-1)(x^2+x+1).$$

   Критические точки:

   $$5x(x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1.$$

   Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x(x-1)$$:

   при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$.

   Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

   Вычислим значения функции:

   $$y(0)=0-0+3=3,$$

   $$y(1)=1-2{,}5+3=1{,}5.$$

2. $$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$

   Найдём производную:

   $$y’=(0{,}2x^5-4x^2-3)’=x^4-8x=x(x^3-8)=x(x-2)(x^2+2x+4).$$

   Критические точки:

   $$x(x-2)(x^2+2x+4)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2.$$

   Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x(x-2)$$:

   при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<2$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>2$$ имеем $$y’>0$$.

   Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

   Вычислим значения функции:

   $$y(0)=-3,$$

   $$y(2)=0{,}2\cdot 2^5-4\cdot 2^2-3=6{,}4-16-3=-12{,}6.$$

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=3$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y(1)=1{,}5$$.

2) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=-3$$; $$x=2$$ — точка минимума, $$y(2)=-12{,}6$$.