Упр.958 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти точки экстремума функции:
- 1) $$y=x^3-4x^2$$; 2) $$y=3x^4-4x^3$$.
1) $$y=x^3-4x^2$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3-4x^2)’=3x^2-8x=x(3x-8).$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$x(3x-8)=0,$$
откуда
$$x=0,\qquad x=\frac{8}{3}.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<\frac{8}{3}$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>\frac{8}{3}$$ имеем $$y’>0$$.
Значит, в точке $$x=0$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=\frac{8}{3}$$ — минимум.
2) $$y=3x^4-4x^3$$
Найдём производную:
$$y’=(3x^4-4x^3)’=12x^3-12x^2=12x^2(x-1).$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$12x^2(x-1)=0,$$
откуда
$$x=0,\qquad x=1.$$
Так как $$12x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x-1$$. При $$x<1$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$.
Следовательно, точка $$x=1$$ — точка минимума. Точка $$x=0$$ является стационарной, но не точкой экстремума.
Ответ
1) $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка минимума.
2) $$x=1$$ — точка минимума; $$x=0$$ — не является точкой экстремума.
