Упр.957 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти стационарные точки функции: 1) $$y=x^4-4x^3-8x^2+1$$; 2) $$y=4x^4-2x^2+3$$; 3) $$y=\frac{x}{3}-\frac{12}{x}$$; 4) $$y=\cos 2x+2\cos x$$.

1) $$y=x^4-4x^3-8x^2+1$$

Найдём производную:

$$y’ = 4x^3-12x^2-16x$$

Стационарные точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$4x^3-12x^2-16x=0$$

$$4x(x^2-3x-4)=0$$

$$4x(x+1)(x-4)=0$$

Отсюда:

$$x=-1,\; x=0,\; x=4$$

2) $$y=4x^4-2x^2+3$$

$$y’ = 16x^3-4x$$

$$16x^3-4x=0$$

$$4x(4x^2-1)=0$$

$$4x(2x-1)(2x+1)=0$$

Отсюда:

$$x=-\frac12,\; x=0,\; x=\frac12$$

3) $$y=\frac{x}{3}-\frac{12}{x}, \quad x\ne 0$$

$$y’=\frac13+\frac{12}{x^2}$$

Стационарные точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$\frac13+\frac{12}{x^2}=0$$

$$x^2+36=0$$

Действительных корней нет, значит, стационарных точек нет.

4) $$y=\cos 2x+2\cos x$$

$$y’=-2\sin 2x-2\sin x$$

$$y’=-2(\sin 2x+\sin x)$$

$$-2\sin x(2\cos x+1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\cos x=-\frac12$$

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=-1,\;0,\;4$$

2) $$x=-\frac12,\;0,\;\frac12$$

3) стационарных точек нет

4) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$