Упр.955 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) f (x) = cos х, -пи < х < пи; 2) f (х) = х5- 80х2 3) f (х)= 12х3 - 24х2 + 12х; 4) f (х) = sin х - 1/2sin 2х, -пи < х < пи.
$$f(x)=\cos x,\quad -\pi<x<\pi$$
$$f'(x)=-\sin x,\qquad f»(x)=-\cos x$$
Точки перегиба находятся из уравнения $$f»(x)=0$$:
$$-\cos x=0 \;\Rightarrow\; \cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
С учётом условия $$-\pi<x<\pi$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$
$$f(x)=x^5-80x^2$$
$$f'(x)=5x^4-160x,\qquad f»(x)=20x^3-160$$
$$f»(x)=0 \;\Rightarrow\; 20x^3-160=0 \;\Rightarrow\; x^3=8 \;\Rightarrow\; x=2$$
При переходе через $$x=2$$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$$f(x)=12x^3-24x^2+12x$$
$$f'(x)=36x^2-48x+12,\qquad f»(x)=72x-48$$
$$f»(x)=0 \;\Rightarrow\; 72x-48=0 \;\Rightarrow\; 3x-2=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{2}{3}$$
При переходе через $$x=\frac{2}{3}$$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$$f(x)=\sin x-\frac12\sin 2x,\quad -\pi<x<\pi$$
$$f'(x)=\cos x-\cos 2x$$
$$f»(x)=-\sin x+2\sin 2x$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$f»(x)=-\sin x+4\sin x\cos x=\sin x(4\cos x-1)$$
$$f»(x)=0 \;\Rightarrow\; \sin x(4\cos x-1)=0$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$, но в промежутке $$(-\pi,\pi)$$ таких точек перегиба нет.
2) $$4\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac14$$
$$x=\pm \arccos\frac14$$
Ответ
1) $$-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{2}{3}$$; 4) $$\pm \arccos\frac14$$.
