Упр.952 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 952 Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 952 1111

Пусть ширина каждой доски равна $$a$$, а угол наклона боковых стенок к основанию равен $$\varphi$$, где $$0<\varphi<\frac{\pi}{2}$$.

Тогда высота жёлоба равна $$a\sin\varphi$$, а верхнее основание трапеции:

$$a+2a\cos\varphi.$$

Площадь поперечного сечения жёлоба:

$$ S(\varphi)=\frac{1}{2}\cdot a\sin\varphi\cdot \bigl(a+a+2a\cos\varphi\bigr) $$

$$ S(\varphi)=a^2\sin\varphi\,(1+\cos\varphi). $$

Найдём максимум функции:

$$ S'(\varphi)=a^2\bigl(\cos\varphi+\cos 2\varphi\bigr). $$

Приравняем производную к нулю:

$$ \cos\varphi+\cos 2\varphi=0. $$

Используем формулу $$\cos 2\varphi=2\cos^2\varphi-1$$:

$$ \cos\varphi+2\cos^2\varphi-1=0. $$

Положим $$y=\cos\varphi$$. Тогда

$$ 2y^2+y-1=0. $$

$$ (2y-1)(y+1)=0. $$

Отсюда $$y=\frac12$$ или $$y=-1$$. Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$0<\varphi<\frac{\pi}{2}$$. Значит,

$$ \cos\varphi=\frac12,\qquad \varphi=\frac{\pi}{3}. $$

Это и есть угол наклона боковых стенок к основанию, при котором площадь поперечного сечения максимальна.

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$.