Упр.951 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 951 Найти на параболе у = х2 точку, ближайшую к точке А (2; 0,5). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 951 1111

Пусть искомая точка на параболе имеет вид $$B(x; x^2).$$ Тогда расстояние от неё до точки $$A(2; 0{,}5)$$ равно

$$ AB=\sqrt{(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2}. $$

Чтобы найти ближайшую точку, достаточно минимизировать квадрат расстояния:

$$ AB^2=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ AB^2=x^2-4x+4+x^4-x^2+\frac14=x^4-4x+\frac{17}{4}. $$

Рассмотрим функцию

$$ f(x)=x^4-4x+\frac{17}{4}. $$

Найдём её производную:

$$ f'(x)=4x^3-4. $$

Приравняем производную к нулю:

$$ 4x^3-4=0 $$

$$ x^3=1 $$

$$ x=1. $$

Проверим значение функции в этой точке:

$$ y=x^2=1. $$

Следовательно, ближайшая к точке $$A(2; 0{,}5)$$ точка параболы имеет координаты $$B(1;1).$$

Ответ

$$ (1;1) $$