Упр.950 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 950 Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси Ох, вторая — на положительной полуоси Оу, третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе у = 3 — х2, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 950 1111

Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $$O(0,0),\ A(x,0),\ B(x,y),\ C(0,y).$$

Так как точка $$B$$ лежит на параболе $$y=3-x^2,$$ то

$$y=3-x^2,\qquad 0<x<\sqrt{3}.$$

Площадь прямоугольника равна

$$S(x)=xy=x(3-x^2)=3x-x^3.$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=3-3x^2=3(1-x^2).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3(1-x^2)=0 \Rightarrow x=1$$

(берём только положительное значение, так как $$x>0$$).

Тогда

$$y=3-1^2=2,$$

и максимальная площадь:

$$S_{\max}=1\cdot 2=2.$$

Ответ

$$2$$