Упр.950 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси $$Ox$$, вторая — на положительной полуоси $$Oy$$, третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе $$y=3-x^2$$, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.

Пусть верхняя правая вершина прямоугольника имеет координаты $$\left(x,\,3-x^2\right),$$ где $$x>0.$$ Тогда его основание равно $$2x,$$ а высота — $$3-x^2.$$

Следовательно, площадь прямоугольника

$$S(x)=2x(3-x^2)=6x-2x^3.$$

Найдём максимум функции на промежутке $$0<x<\sqrt{3}.$$

$$S'(x)=6-6x^2=6(1-x^2).$$

Критическая точка:

$$S'(x)=0 \;\Rightarrow\; 1-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

Так как при $$0<x<1$$ производная положительна, а при $$1<x<\sqrt{3}$$ отрицательна, то при $$x=1$$ площадь максимальна.

$$S_{\max}=S(1)=2\cdot 1\cdot (3-1)=4.$$

Ответ

$$4$$