Упр.948 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из квадратного листа картона со стороной $$a$$ нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна $$x$$. Тогда высота коробки тоже равна $$x$$, а сторона основания будет $$a-2x$$.

Объём коробки:

$$V(x)=x(a-2x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$V(x)=a^2x-4ax^2+4x^3.$$

Найдём производную:

$$V'(x)=a^2-8ax+12x^2.$$

Приравняем производную к нулю:

$$12x^2-8ax+a^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-8a)^2-4\cdot 12\cdot a^2=64a^2-48a^2=16a^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{8a\pm 4a}{24},$$

откуда

$$x_1=\frac{a}{6}, \qquad x_2=\frac{a}{2}.$$

Но при $$x=\frac{a}{2}$$ основание коробки вырождается, и объём равен нулю. Значит, максимум объёма достигается при

$$x=\frac{a}{6}.$$

Ответ: $$\frac{a}{6}$$.