Упр.947 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти наибольшее значение функции:
1) $$x\sqrt[4]{5-x}$$ на интервале $$(0;5)$$;
2) $$x\sqrt[3]{4-x}$$ на интервале $$(0;4)$$;
3) $$\sqrt[3]{x^2(1-x)}$$ на интервале $$(0;1)$$;
4) $$\sqrt[3]{(x^2-4x+6)^{-1}}$$ на интервале $$(-1;5)$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x\sqrt[4]{5-x}$$ на интервале $$(0;5).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\sqrt[4]{5-x}+x\cdot \frac{1}{4}(5-x)^{-3/4}\cdot(-1) =\sqrt[4]{5-x}-\frac{x}{4\sqrt[4]{(5-x)^3}} =\frac{20-5x}{4\sqrt[4]{(5-x)^3}}.$$
На интервале $$(0;5)$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$20-5x>0 \quad \Rightarrow \quad x<4.$$
Значит, функция возрастает до точки $$x=4,$$ следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=4.$$
$$f(4)=4\sqrt[4]{5-4}=4.$$
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=x\sqrt[3]{4-x}$$ на интервале $$(0;4).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\sqrt[3]{4-x}+x\cdot \frac{1}{3}(4-x)^{-2/3}\cdot(-1) =\sqrt[3]{4-x}-\frac{x}{3\sqrt[3]{(4-x)^2}} =\frac{12-4x}{3\sqrt[3]{(4-x)^2}}.$$
На интервале $$(0;4)$$ знаменатель положителен, поэтому
$$12-4x>0 \quad \Rightarrow \quad x<3.$$
Следовательно, максимум достигается при $$x=3.$$
$$f(3)=3\sqrt[3]{4-3}=3.$$
3) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt[3]{x^2(1-x)}$$ на интервале $$(0;1).$$
Пусть $$u=x^2(1-x)=x^2-x^3,$$ тогда $$f(x)=u^{1/3}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{3}u^{-2/3}(2x-3x^2) =\frac{2x-3x^2}{3\sqrt[3]{(x^2-x^3)^2}}.$$
На интервале $$(0;1)$$ знаменатель положителен, поэтому
$$2x-3x^2>0 \quad \Rightarrow \quad x(2-3x)>0 \quad \Rightarrow \quad 0<x<\frac{2}{3}.$$
Значит, максимум достигается при $$x=\frac{2}{3}.$$
$$f\!\left(\frac{2}{3}\right)=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(1-\frac{2}{3}\right)} =\sqrt[3]{\frac{4}{27}} =\frac{\sqrt[3]{4}}{3}.$$
4) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt[3]{(x^2-4x+5)^{-1}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-4x+5}}$$ на интервале $$(-1;5).$$
Пусть $$u=x^2-4x+5,$$ тогда $$f(x)=u^{-1/3}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(-\frac{1}{3}\right)u^{-4/3}(2x-4) =-\frac{2x-4}{3\sqrt[3]{(x^2-4x+5)^4}}.$$
На интервале $$(-1;5)$$ знаменатель положителен, поэтому
$$-(2x-4)>0 \quad \Rightarrow \quad x<2.$$
Следовательно, максимум достигается при $$x=2.$$
$$f(2)=\sqrt[3]{(2^2-4\cdot 2+5)^{-1}} =\sqrt[3]{1}=1.$$
Ответ
1) $$4$$; 2) $$3$$; 3) $$\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$; 4) $$1$$.
