Упр.945 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее значение функции:
   
   1) $$3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
   
   2) $$3x-2x\sqrt{x}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=0,$$

$$1-x=0,$$

$$x=1.$$

Исследуем знак производной: при $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ — $$f'(x)<0.$$ Значит, в точке $$x=1$$ функция достигает наибольшего значения.

$$f(1)=3\sqrt{1}-1\cdot\sqrt{1}=3-1=2.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x-2x\sqrt{x}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-2\cdot\frac{3}{2}\sqrt{x}=3-3\sqrt{x}=3(1-\sqrt{x}).$$

Приравняем производную к нулю:

$$3(1-\sqrt{x})=0,$$

$$\sqrt{x}=1,$$

$$x=1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ — $$f'(x)<0.$$ Следовательно, в точке $$x=1$$ функция достигает максимума.

$$f(1)=3\cdot1-2\cdot1\cdot\sqrt{1}=3-2=1.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$.