Упр.945 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 3 корень x — x корень х на промежутке (0; +бесконечность);
2) Зх-2х корень x на промежутке (0; +бесконечность).

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right).$$

Критическая точка находится из уравнения $$f'(x)=0$$:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=0,$$

$$1-x=0,$$

$$x=1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0.$$ Значит, в точке $$x=1$$ функция достигает наибольшего значения.

$$f(1)=3\sqrt{1}-1\cdot\sqrt{1}=3-1=2.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x-2x\sqrt{x}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-2\cdot\frac{3}{2}\sqrt{x}=3-3\sqrt{x}=3(1-\sqrt{x}).$$

Критическая точка:

$$f'(x)=0,$$

$$1-\sqrt{x}=0,$$

$$\sqrt{x}=1,$$

$$x=1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0.$$ Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=1.$$

$$f(1)=3\cdot1-2\cdot1\cdot\sqrt{1}=3-2=1.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$.